高校数学A

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5分で解ける!倍数の個数1(かつ・または)に関する問題

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5分で解ける!倍数の個数1(かつ・または)に関する問題

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この動画の問題と解説

例題

一緒に解いてみよう

高校数学A 場合の数と確率4 例題

解説

これでわかる!
例題の解説授業
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自然数は、正の整数のことだね。50以下の自然数について、さまざまな倍数の個数を考えていこう。とくに「かつ」や「または」などの表現が出る問題では、次のポイントのような集合のイメージを思い浮かべられるようにしよう。

POINT
高校数学A 場合の数と確率4 ポイント

2の倍数は「2,4,6……,50」まで

高校数学A 場合の数と確率4 例題(1)

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50以下の自然数だから、1,2,3,4,5……50 までの整数で考えるわけだね。
その中で2の倍数は、2,4,6,8,10,12……50 という数。50まで何個あるかな?

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2,4,6,8……50は
1 ,2× 2 ,2× 3 ,2× 4 ……2× 25
と書きかえることができるよね。「2×」の後に来ている1,2,3,4,5,6……25 という数は「2の倍数の個数」を表していることに気付けるかな?
50=2×25だから、50は25番目の2の倍数 。よって、50以下の自然数の中には、2の倍数は25個あるよ。

(1)の答え
高校数学A 場合の数と確率4 例題(1)の答え

3の倍数は「3,6,9……,48」まで

高校数学A 場合の数と確率4 例題(2)

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3,6,9,12……48は
1 ,3× 2 ,3× 3 ,3× 4 ……3× 16
と書きかえることができるよね。「3×」の後に来ている1,2,3,4,5,6……16 という数が「3の倍数の個数」を表しているよ。

(2)の答え
高校数学A 場合の数と確率4 例題(2)の答え

「2の倍数かつ3の倍数」➡「6の倍数」

高校数学A 場合の数と確率4 例題(3)

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キーワードが出てきたね。2の倍数 かつ 3の倍数だ。 「かつ」 という言葉が出てきたら、 「共通部分」 を探しにいこう。

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2の倍数と3の倍数の共通部分って、どんな数かイメージができるかな?
2の倍数は、2,4, 6 ,8、10, 12 ……
3の倍数は、3, 6 ,9, 12 ……
6,12,……と続く数だよね。そう、 2の倍数でもあるし、3の倍数でもある数というのは、6の倍数 のことなんだ。

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50以下の自然数で、6の倍数を調べてみると、
6,12,18……48 となるね。
48=6×8だから、48は8番目の6の倍数 。50以下の自然数の中には、6の倍数は8個あるってことだね。なわち、2の倍数かつ3の倍数の個数は8個!

(3)の答え
高校数学A 場合の数と確率4 例題(3)の答え

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

高校数学A 場合の数と確率4 例題(4)

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仕上げに、2の倍数 または 3の倍数の個数を求めよう。
「または」 という言葉が出てきたら 「和集合」 を考えるよ。

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和集合の要素の個数は、
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
という計算が使えたね。
今回の問題に合わせて書くと、
n(2の倍数∩3の倍数)
n(2の倍数)+n(3の倍数)-n(2の倍数∩3の倍数)
(1)(2)(3)より
n(2の倍数)=25
n(3の倍数)=16
n(2の倍数∩3の倍数)=8
より、代入すれば答えが出てくるね。

(4)の答え
高校数学A 場合の数と確率4 例題(4)の答え
倍数の個数1(かつ・または)
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      場合の数と確率の問題

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      場合の数と確率

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