高校数学A
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5分でわかる!同じものを含む順列

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この動画の要点まとめ

ポイント

同じものを含む順列

高校数学A 場合の数と確率32 ポイント

これでわかる!

ポイントの解説授業

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これまでの授業で、「順列」と「組合せ」の基本的な解法はしっかり身に着いたかな? ここからは計3回の授業で、「順列」と「組合せ」の知識を応用させて解く問題を扱っていこう。

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第1回は 「同じものを含む順列」 を学習しよう。

順列nPrは「異なるもの」の並べ方

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「順列nPr」とは、「 異なる n個のものからr個を取り出して1列に並べるときの場合の数」のことだったね。

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今回考えるのは、並べるものの中に「 同じもの が含まれている」んだ。例えば、「4,5,5,6,6,6の6個の数字をすべて使って6ケタの整数をつくるときの総数」のようなパターンだね。

高校数学A 場合の数と確率32 例題
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普通の順列と同じように6P6で計算してしまうと、2つある「5」や、3つある「6」の数字を すべて異なるものとして区別してしまう ことになり、場合の数を数えすぎてしまうのはわかるかな?  同じものを区別しない ためには、次のポイントのように考えよう。

POINT
高校数学A 場合の数と確率32 ポイント

どうしてわり算をするのか?

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順列6P6で計算すると、 すべてを区別して並べてしまう わけだね。例えば「5,5」と同じものが2つある場合を考えるよ。分かりやすいように、仮に、「51、52」と番号を振っておこう。

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順列はこの2つの5を別のものとして数え上げるから、
(51、52)、(52、51)
という2つのパターンが出てきてしまう。

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しかし、「51、52が同じ」ならば、
(51、52)、(52、51)
は1通りなんだね。

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「並んでいる」ものを「並べない」ようにする。この補正計算は、何度もやってきた操作だね。 「2つの順番」「区別しない」 ようにするんだから、 2!で割る んだよ。だから、「同じものを含む順列」では次のポイントが成り立つんだね。

POINT
高校数学A 場合の数と確率32 ポイント
Imagawa
この授業の先生

今川 和哉 先生

どんなに数学がニガテな生徒でも「これだけ身につければ解ける」という超重要ポイントを、 中学生が覚えやすいフレーズとビジュアルで整理。難解に思える高校数学も、優しく丁寧な語り口で指導。

同じものを含む順列
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