sin3xsinxの不定積分を求める問題です。2つの関数の積で表される式は，「部分積分法を使う」のがセオリーですが，前回，前々回の授業同様に，この問題ではうまくいきません。m，nを整数とするとき，sinmxsinnxで表される不定積分は，三角関数の加法定理を使って解きましょう。

sinmxsinnxは，和や差の式に分解することを目指します。このときに三角関数の加法定理より，
cos(mx-nx)=cosmxcosnx +sinmxsinnx ……①
として，sinmxsinnxを作り出すことができますね。ただし，cosmxcosnxの項は邪魔です。よって，nxの符号をプラスにした加法定理を考え，
cos(mx+nx)=cosmxcosnx -sinmxsinnx ……②
①-②により，
cos(mx-nx)-cos(mx+nx)=2cosmxcosnx
sinmxsinnxを差の式に分解することができます。

ポイントの解法を使って，sin3xsinxの不定積分を求めましょう。積の式を，和や差の式に分解するため，三角関数の加法定理を使います。
cos(3x-x)=cos3xcosx +sin3xsinx ……①
cos3xcosxの項は邪魔なので，符号をプラスにした加法定理を考え，
cos(3x+x)=cos3xcosx -sin3xsinx……②
①-②により，
cos2x-cos4x=2sin3xsinx
sin3xsinxを和の式に分解することができました。

sin3xsinx=(1/2)(cos2x-cos4x) より，求める不定積分は， ∫(1/2)(cos2x-cos4x)dx です。cos2xとcos4xを積分すると，それぞれ(1/2)sin2x，(1/4)sin4xになりますね。