高校数学Ⅲ

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5分で解ける!sinmx sinnxの不定積分に関する問題

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5分で解ける!sinmx sinnxの不定積分に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
sinmxsinnxの不定積分

積分法とその応用24 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業

三角関数の加法定理を活用

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sin3xsinxの不定積分を求める問題です。2つの関数の積で表される式は,「部分積分法を使う」のがセオリーですが,前回,前々回の授業同様に,この問題ではうまくいきません。m,nを整数とするとき,sinmxsinnxで表される不定積分は,三角関数の加法定理を使って解きましょう。

POINT
積分法とその応用24 ポイント
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sinmxsinnxは,和や差の式に分解することを目指します。このときに三角関数の加法定理より,
cos(mx-nx)=cosmxcosnx +sinmxsinnx ……①
として,sinmxsinnxを作り出すことができますね。ただし,cosmxcosnxの項は邪魔です。よって,nxの符号をプラスにした加法定理を考え,
cos(mx+nx)=cosmxcosnx -sinmxsinnx ……②
①-②により,
cos(mx-nx)-cos(mx+nx)=2cosmxcosnx
sinmxsinnxを差の式に分解することができます。

cos(3x-x)-cos(3x+x)

積分法とその応用24 問題

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ポイントの解法を使って,sin3xsinxの不定積分を求めましょう。積の式を,和や差の式に分解するため,三角関数の加法定理を使います。
cos(3x-x)=cos3xcosx +sin3xsinx ……①
cos3xcosxの項は邪魔なので,符号をプラスにした加法定理を考え,
cos(3x+x)=cos3xcosx -sin3xsinx……②
①-②により,
cos2x-cos4x=2sin3xsinx
sin3xsinxを和の式に分解することができました。

cos2xとcos4xをそれぞれ積分

積分法とその応用24 問題 答え1~5行目

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sin3xsinx=(1/2)(cos2x-cos4x) より,求める不定積分は, ∫(1/2)(cos2x-cos4x)dx です。cos2xとcos4xを積分すると,それぞれ(1/2)sin2x,(1/4)sin4xになりますね。

答え
積分法とその応用24 問題 答え
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sinmx sinnxの不定積分
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積分法とその応用の問題