高校数学Ⅲ

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5分で解ける!置換積分法(5)に関する問題

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5分で解ける!置換積分法(5)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
置換積分法(5)

積分法とその応用16 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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今回は置換積分法の第5回目の授業です。sin3xの不定積分を扱いましょう。

1つしかないsinxを作り出す

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sin2xcosxや,cos2xsinxであれば,1つしかないcosx,sinxに注目して,置換積分できることを前回学習しましたね。しかし,今回は,sin3xとsinだけの式になっています。

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こんなときは,強引に1つしかないsinxを作り出すことを考えましょう。三角関数の公式sin2x=1-cos2xを使うと,次のように式変形できますね。

POINT
積分法とその応用16 ポイント
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1つしかないsinxの部分を,sinxdxのカタマリで見ます。そして,残った式をt=cosxの関数と見ると,積分計算を進めることができます。……といっても,抽象的なポイントではわかりませんよね。具体的に,sin3xを積分していきましょう。

t=cosxとおいて,両辺を微分

積分法とその応用16 問題

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∫sin3xdxは,
∫(sin2x)sinxdx
=∫(1-cos2x)sinxdx
と見ます。

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ここで,cosxをtに置きかえると,
t=cosx
ですね。この式の両辺をxで微分すると,
(d/dx)t=-sinx
より,
-dt=sinxdx
sinxdxを-dtに置きかえる ことができますね!

sinxdxを-dtに置きかえる

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sinxdx=-dt
を使うと,
∫(1-cos2x)sinxdx
=∫(1-t2) -dt
= ∫(t2-1)dt
(t2-1)の不定積分の式に書き換えられました。

tで積分した後,xに戻す

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t2の積分は(1/3)t3,-1の積分は-tです。積分定数Cをつけて,答えが出てきますね。答案では,tをxの式に戻すことを忘れないでください。tはあくまで積分しやすいように置きかえた文字なので,問題で与えられた文字xに戻す必要があります。

答え
積分法とその応用16 問題 答え
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大事なポイントは,1つしかないsinx,cosxに注目することです。ここをしっかりおさえておきましょう。

置換積分法(5)
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