高校数学Ⅲ

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5分で解ける!cosmx cosnxの不定積分に関する問題

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5分で解ける!cosmx cosnxの不定積分に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
cosmxcosnxの不定積分

積分法とその応用23 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業

三角関数の加法定理を活用

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cos3xcos2xの不定積分を求める問題です。2つの関数の積で表される式は,「部分積分法を使う」のがセオリーですが,前回の授業同様に,この問題ではうまくいきません。m,nを整数とするとき,cosmxcosnxで表される不定積分は,三角関数の加法定理を使って解きましょう。

POINT
積分法とその応用23 ポイント
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cosmxcosnxは,和や差の式に分解することを目指します。このときに三角関数の加法定理より,
cos(mx+nx)=cosmxcosnx-sinmxsinnx……①
として,cosmxcosnxを作り出すことができますね。ただし,sinmxsinnxの項は邪魔です。よって,nxの符号をマイナスにした加法定理を考え,
cos(mx-nx)=cosmxcosnx+sinmxsinnx……②
①+②により,
cos(mx+nx)+cos(mx-nx)=2cosmxcosnx
cosmxcosnxを和の式に分解することができます。

cos(3x+2x)+cos(3x-2x)

積分法とその応用23 問題

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ポイントの解法を使って,cos3xcos2xの不定積分を求めましょう。積の式を,和や差の式に分解するため,三角関数の加法定理を使います。
cos(3x+2x)=cos3xcos2x-sin3xsin2x……①
cos3xsinxの項は邪魔なので,符号をマイナスにした加法定理を考え,
cos(3x-2x)=cos3xcos2x+sin3xsin2x……②
①+②により,
cos5x+cosx=2cos3xcos2x
cos3xcos2xを和の式に分解することができました。

cos5xとcosxをそれぞれ積分

積分法とその応用23 問題 答え1~5行目

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cos3xcos2x=(1/2)(cos5x+cosx) より,求める不定積分は, ∫(1/2)(cos5x+cosx)dx です。cos5xとcosxを積分すると,それぞれ(1/5)sin5x,sinxになりますね。

答え
積分法とその応用23 問題 答え
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cosmx cosnxの不定積分
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積分法とその応用の問題