高校数学Ⅲ

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5分で解ける!分数関数の積分(2)に関する問題

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5分で解ける!分数関数の積分(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
分数関数の積分(2)

積分法とその応用18 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業

分数関数の積分公式が使えない!?

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1/(x2-1)を不定積分する問題です。分数関数の積分ですね。分数関数については,2パターンの積分公式を学習しました。これまで紹介した①~⑧の積分公式のうちの②と⑧です。

分数関数の積分公式
積分法とその応用2 ポイント 下の2行分

積分法とその応用6 ポイント 下の2行分
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しかし,今回の問題の1/(x2-1)は,②,⑧の公式ではうまく積分できません。

公式が使えるパターンに式変形する!

積分法とその応用18 問題

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1/(x2-1)を積分できるようにするには,うまく式変形する必要があります。

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この問題では,分母が因数分解できる式になっていることに注目しましょう。分母が因数分解できる式のとき, 差分解(部分分数分解) ができます。差分解は数学Bの「数列」で学習した内容ですが,少し振り返ってみましょう。

積分法とその応用18 答え1~2行目(2行目最後の「より」を削除)

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まず,分母(x2-1)を因数分解して,(x-1)(x+1)にします。この(x-1)と(x+1)を分母とする分数1/(x-1)と1/(x+1)を考え,2つの差を計算します。通分によって,分母は(x-1)(x+1)になってくれますね。分子は(x+1)-(x-1)=2となるので,元の1/(x2-1)の分子1に一致するように, (1/2)をかけ算して補正 しているのです。

1/(x-1)の積分と,1/(x+1)の積分

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1/(x2-1)は,
(1/2){1/(x-1)-1/(x+1)}に分解 できましたね。あとは,1/xの積分公式を使い,積分定数Cを加えれば答えになりますね。

答え
積分法とその応用18 問題 答え

分数関数の積分解法②

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一見,分数関数の積分公式が使えないときの解法②は, 差分解(部分分数分解) をしてみることです。分母が因数分解できるとき,この解法がうまくいくことがあります。

POINT
積分法とその応用18 ポイント
分数関数の積分(2)
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