高校数学Ⅲ
5分で解ける!分数関数の積分(2)に関する問題
![高校数学Ⅲ](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/subject_symbol_border_k0_mathematics_3-c4572ba7c8a2ac3a200f553dfcd3149de4e1b02a78409f01388ce309278d007a.png)
- 問題
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/components/movie_size-f89110ba4a351d85c483bb12f73c7cf89e2ba13a9174f58b4a38599d28678843.png)
この動画の問題と解説
問題
一緒に解いてみよう
分数関数の積分(2)
解説
これでわかる!
問題の解説授業
分数関数の積分公式が使えない!?
分数関数の積分公式
![積分法とその応用2 ポイント 下の2行分](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_18_1/k_mat_3_7_1_2_1_image99.png)
![積分法とその応用6 ポイント 下の2行分](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_18_1/k_mat_3_7_1_6_1_image99.png)
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
しかし,今回の問題の1/(x2-1)は,②,⑧の公式ではうまく積分できません。
公式が使えるパターンに式変形する!
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
1/(x2-1)を積分できるようにするには,うまく式変形する必要があります。
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
この問題では,分母が因数分解できる式になっていることに注目しましょう。分母が因数分解できる式のとき, 差分解(部分分数分解) ができます。差分解は数学Bの「数列」で学習した内容ですが,少し振り返ってみましょう。
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
まず,分母(x2-1)を因数分解して,(x-1)(x+1)にします。この(x-1)と(x+1)を分母とする分数1/(x-1)と1/(x+1)を考え,2つの差を計算します。通分によって,分母は(x-1)(x+1)になってくれますね。分子は(x+1)-(x-1)=2となるので,元の1/(x2-1)の分子1に一致するように, (1/2)をかけ算して補正 しているのです。
1/(x-1)の積分と,1/(x+1)の積分
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
1/(x2-1)は,
(1/2){1/(x-1)-1/(x+1)}に分解 できましたね。あとは,1/xの積分公式を使い,積分定数Cを加えれば答えになりますね。
答え
![積分法とその応用18 問題 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_18_1/k_mat_3_7_1_18_1_image03.png)
分数関数の積分解法②
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
一見,分数関数の積分公式が使えないときの解法②は, 差分解(部分分数分解) をしてみることです。分母が因数分解できるとき,この解法がうまくいくことがあります。
POINT
![積分法とその応用18 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_18_1/k_mat_3_7_1_18_1_image04.png)
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/logo_black-a711ae7f4c2af1410b916e7066a5e8950d6f2f3a2150e093b6dc878ad8f31d3f.png)
1/(x2-1)を不定積分する問題です。分数関数の積分ですね。分数関数については,2パターンの積分公式を学習しました。これまで紹介した①~⑧の積分公式のうちの②と⑧です。