xe^xを不定積分する問題です。2つの関数の積で表された式の積分は，次の部分積分法を使って計算しましょう。

部分積分法の公式
∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-∫F(x)g'(x)dx
において，xとe^xのどちらがf(x)で，どちらがg(x)かを見極めます。

xは微分すると1になってくれるので，微分しやすい関数です。したがって，g(x)=xとおきましょう。e^xは積分してもe^xのままなので，積分しやすい関数です。f(x)=e^xとおきます。すると，∫F(x)g'(x)dxの部分は，
∫F(x)g'(x)dx=∫(e^x×1)dx=∫e^xdx
となり，積分できる式になりますね，。

よって，∫f(x)g(x)dxは，部分積分法によって次のように計算できます。

積分しやすい方がf(x)，微分しやすい方がg(x) という見極めがしっかりできるようになりましょう。