数学Ⅲの第7章では積分法について解説していきます。

積分とは，簡単にいうと 「微分」の逆の計算 のことを言います。関数f(x)を積分した関数のことを∫f(x)dxで表し，記号∫はインテグラルと読みます。∫f(x)dx=F(x)とおくと， F'(x)=f(x) が成り立ちます。f(x)を積分するとF(x)となり，F(x)を微分するとf(x)になるのですね。

特に，xの区間を定めないで積分することを，不定積分と言いました。ここまでは数学Ⅱで学習した内容の復習です。

では，負の数や分数も含む実数をp (p≠-1)とするとき，x^pの不定積分について考えてみましょう。f(x)=x^pを不定積分した関数をF(x)とおくと，F(x)を微分するとf(x)になるので，
F'(x)=f(x)=x^p
が成り立ちますね。

F(x)が微分してx^pになるということは， x^□の指数を1減らした項がx^p だということになります。F(x)の式にx^p+1が含まれることがわかります。また，x^p，x^p-1，……，x³，x²，x¹の項は含まれません。
(x^p+1)'=(p+1)x^p
より，係数(p+1)が1になるようにF(x)の式を考えると，次の公式が成り立ちます。

つまり，f(x)=x^pを積分すると， 指数がx^p+1 ， 係数が1/(p+1) である関数F(x)={x^p+1/(p+1)}+Cになるのです。また，Cは積分定数といい，F(x)の定数項を表します。F(x)の定数項を微分すると0になって消えてしまうので，f(x)を積分するときは定数Cをつけることになっています。

x^pの不定積分の公式は，pが負の数でも分数でも使えますが，p=-1のときだけは使えません。p=-1のとき，F(x)={x^p+1/(p+1)}+Cの分母(p+1)が0になってしまうからですね。

x^pの不定積分の公式には番号を①と振りました。この授業を皮切りに，計8つの積分公式を紹介するため，番号をつけて整理をしていきます。では，実際に 積分公式①x^pの不定積分(p≠-1) を使う問題を解いていきましょう。