高校数学Ⅲ

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5分でわかる!x^pの不定積分(p≠-1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

x^pの不定積分(p≠-1)

積分法とその応用1 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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数学Ⅲの第7章では積分法について解説していきます。

積分法とは?

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積分とは,簡単にいうと 「微分」の逆の計算 のことを言います。関数f(x)を積分した関数のことを∫f(x)dxで表し,記号∫はインテグラルと読みます。∫f(x)dx=F(x)とおくと, F'(x)=f(x) が成り立ちます。f(x)を積分するとF(x)となり,F(x)を微分するとf(x)になるのですね。

積分法とその応用1 ポイント 小見出しのぞく 1~2行目

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特に,xの区間を定めないで積分することを,不定積分と言いました。ここまでは数学Ⅱで学習した内容の復習です。

xpの不定積分 (pがマイナスや分数の場合)

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では,負の数や分数も含む実数をp (p≠-1)とするとき,xpの不定積分について考えてみましょう。f(x)=xpを不定積分した関数をF(x)とおくと,F(x)を微分するとf(x)になるので,
F'(x)=f(x)=xp
が成り立ちますね。

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F(x)が微分してxpになるということは, xの指数を1減らした項がxp だということになります。F(x)の式にxp+1が含まれることがわかります。また,xp,xp-1,……,x3,x2,x1の項は含まれません。
(xp+1)'=(p+1)xp
より,係数(p+1)が1になるようにF(x)の式を考えると,次の公式が成り立ちます。

POINT
積分法とその応用1 ポイント
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つまり,f(x)=xpを積分すると, 指数がxp+1係数が1/(p+1) である関数F(x)={xp+1/(p+1)}+Cになるのです。また,Cは積分定数といい,F(x)の定数項を表します。F(x)の定数項を微分すると0になって消えてしまうので,f(x)を積分するときは定数Cをつけることになっています。

p≠-1 の制限も重要

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xpの不定積分の公式は,pが負の数でも分数でも使えますが,p=-1のときだけは使えません。p=-1のとき,F(x)={xp+1/(p+1)}+Cの分母(p+1)が0になってしまうからですね。

積分法とその応用1 ポイント

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xpの不定積分の公式には番号を①と振りました。この授業を皮切りに,計8つの積分公式を紹介するため,番号をつけて整理をしていきます。では,実際に 積分公式①xpの不定積分(p≠-1) を使う問題を解いていきましょう。

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

x^pの不定積分(p≠-1)
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      積分法とその応用

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