高校数学Ⅲ

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5分で解ける!sinmx cosnxの不定積分に関する問題

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5分で解ける!sinmx cosnxの不定積分に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
sinmxcosnxの不定積分

積分法とその応用22 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業

部分積分法が使えない!?

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sin3xcosxの不定積分を求める問題です。2つの関数の積で表される式は,「部分積分法を使う」のがセオリーですが,この問題ではうまくいきません。部分積分法を使っても,関数の積の形が解消されず,計算が進まないのです。

三角関数の加法定理を活用

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では,sin3xcosxはどう積分すればよいでしょうか? m,nを整数とするとき,sinmxcosnxで表される不定積分には解法のパターンがあります。次のポイントをおさえておきましょう。

POINT
積分法とその応用22 ポイント
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sinmxcosnxは,和や差の式に分解することを目指します。このときに三角関数の加法定理を使いましょう。
sin(mx+nx)=sinmxcosnx+cosmxsinnx……①
として,sinmxcosnxを作り出すことができますね。ただし,cosmxsinnxの項は邪魔です。よって,nxの符号をマイナスにした加法定理を考え,
sin(mx-nx)=sinmxcosnx-cosmxsinnx……②
①+②により,
sin(mx+nx)+sin(mx-nx)=2sinmxcosnx
sinmxcosnxを和の式に分解することができます。

sin(3x+x)+sin(3x-x)

積分法とその応用22 問題

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ポイントの解法を使って,sin3xcosxの不定積分を求めましょう。積の式を,和や差の式に分解するため,三角関数の加法定理を使います。
sin(3x+x)=sin3xcosx+cos3xsinx……①
cos3xsinxの項は邪魔なので,符号をマイナスにした加法定理を考え,
sin(3x-x)=sin3xcosx-cos3xsinx……②
①+②により,
sin4x+sin2x=2sin3xcosx
sin3xcosxを和の式に分解することができました。

sin4xとsin2xをそれぞれ積分

積分法とその応用22 問題 答え1~5行目

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sin3xcosx=(1/2)(sin4x+sin2x) より,求める不定積分は, ∫(1/2)(sin4x+sin2x)dx です。sin4xとsin2xを積分すると,それぞれ-(1/4)cos4x,-(1/2)cos2xになりますね。

答え
積分法とその応用22 問題 答え
sinmx cosnxの不定積分
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