高校数学Ⅲ

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5分で解ける!置換積分法(3)に関する問題

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5分で解ける!置換積分法(3)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
置換積分法(3)

積分法とその応用14 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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今回は置換積分法の第3回目の授業です。logx/xと(logx)2/xの不定積分を扱いましょう。

logxをtと置いて積分

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今回の問題(logx/x)は,xで積分しようと思うと,logxに積分公式がないので,計算が進みません。実は,この問題,t=logxと置いて積分するパターンだと知っておく必要があります。

POINT
積分法とその応用14 ポイント
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このポイントを用いて,実際に(logx/x)の不定積分を行っていきましょう。

t=logxとおいて,両辺を微分

積分法とその応用14 問題

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logxをtに置きかえると,
t=logx
ですね。この式の両辺をxで微分すると,
(d/dx)t=(1/x)
より,
dt=(1/x)dx
(1/x)dxをdtに置きかえることができますね!

(1/x)dxをdtに置きかえる

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(1/x)dx=dt
を使うと,
∫(logx/x)dx
=∫logx (1/x)dx
=∫t dt
tの不定積分の式に書き換えられました。

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同様に,(logx)2/xの不定積分は,
∫{(logx)2/x}dx
=∫t2 (1/x)dx
=∫t2 dt
t2の不定積分の式に書き換えられました。

tで積分した後,xに戻す

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tの積分は(1/2)t2,t2の積分は(1/3)t3です。積分定数Cをつけて,答えが出てきますね。答案では,tをxの式に戻すことを忘れないでください。tはあくまで積分しやすいように置きかえた文字なので,問題で与えられた文字xに戻す必要があります。

答え
積分法とその応用14 問題 答え
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置換積分法(3)
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積分法とその応用の問題