高校数学Ⅲ

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5分で解ける!f´(x)/f(x)の不定積分(2)に関する問題

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5分で解ける!f´(x)/f(x)の不定積分(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
f'(x)/f(x)の不定積分(2)

積分法とその応用7 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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今回は,tanx,1/tanxの不定積分を求める問題です。

tanxの不定積分の公式がない!?

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これまで不定積分の公式を計8パターン学習しました。三角関数の不定積分の公式は③,④でしたね。

積分公式
積分法とその応用1 ポイント 下の2行分(できれば,=をつなげて1行におさめる)

積分法とその応用2 ポイント 下の2行分

積分法とその応用3 ポイント 2行目と4行目(※符号に注意!は不要)

積分法とその応用4 ポイント 一番下の行だけ

積分法とその応用5 ポイント 2行目と4行目

積分法とその応用6 ポイント 下の2行分
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おやっ!? tanxの不定積分公式は見当たりません。いったい,どうすればよいのでしょうか? 実は,三角関数tanxの不定積分で活用するのは,公式⑧分数関数で使える不定積分です。実際にこの問題に適用してみましょう。

tanx=sinx/cosxの分数式と見る

積分法とその応用7 問題

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tanxは,
tanx=sinx/cosx
の分数式として見ることができますよね。もし,tanx=f'(x)/f(x)ならば,公式の⑧より,積分してlog|f(x)|になります。
(分母)'=(cosx)'=-sinx=-(分子)
より,符号に注意して,

積分法とその応用7 解答1~4行目まで

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と式変形できました。∫(-sinx)/(cosx)dxは,f'(x)/f(x)の形より, 積分してlog|cosx| となりますね。積分定数Cを加えて答えになります。

答え①
積分法とその応用7 解答1~5行目まで(…(答)含む)

1/tanx=cosx/sinxの分数式と見る

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1/tanxは,
(1/tanx)=cosx/sinx
の分数式として見ることができます。
(分母)'=(sinx)'=cosx=(分子)
より,

積分法とその応用7 解答5行目

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と式変形します。(1/tanx)=f'(x)/f(x)の形になっているので,∫(cosx)/(sinx)dxは, 積分してlog|sinx| となりますね。積分定数Cを加えて答えになります。

答え②
積分法とその応用7 解答5~6行目まで(…(答)含む)
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tanxの不定積分に,公式はありません。f'(x)/f(x)の積分公式を活用することを覚えておきましょう。

POINT
積分法とその応用7 ポイント
f´(x)/f(x)の不定積分(2)
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