高校数学Ⅲ
5分で解ける!f´(x)/f(x)の不定積分(2)に関する問題
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- 問題
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この動画の問題と解説
問題
一緒に解いてみよう
f'(x)/f(x)の不定積分(2)
解説
これでわかる!
問題の解説授業
tanxの不定積分の公式がない!?
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これまで不定積分の公式を計8パターン学習しました。三角関数の不定積分の公式は③,④でしたね。
積分公式
![積分法とその応用1 ポイント 下の2行分(できれば,=をつなげて1行におさめる)](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_7_1/k_mat_3_7_1_1_1_image99.png)
![積分法とその応用2 ポイント 下の2行分](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_7_1/k_mat_3_7_1_2_1_image99.png)
![積分法とその応用3 ポイント 2行目と4行目(※符号に注意!は不要)](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_7_1/k_mat_3_7_1_3_1_image99.png)
![積分法とその応用4 ポイント 一番下の行だけ](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_7_1/k_mat_3_7_1_4_1_image99.png)
![積分法とその応用5 ポイント 2行目と4行目](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_7_1/k_mat_3_7_1_5_1_image99.png)
![積分法とその応用6 ポイント 下の2行分](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_7_1/k_mat_3_7_1_6_1_image99.png)
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おやっ!? tanxの不定積分公式は見当たりません。いったい,どうすればよいのでしょうか? 実は,三角関数tanxの不定積分で活用するのは,公式⑧分数関数で使える不定積分です。実際にこの問題に適用してみましょう。
tanx=sinx/cosxの分数式と見る
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tanxは,
tanx=sinx/cosx
の分数式として見ることができますよね。もし,tanx=f'(x)/f(x)ならば,公式の⑧より,積分してlog|f(x)|になります。
(分母)'=(cosx)'=-sinx=-(分子)
より,符号に注意して,
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と式変形できました。∫(-sinx)/(cosx)dxは,f'(x)/f(x)の形より, 積分してlog|cosx| となりますね。積分定数Cを加えて答えになります。
答え①
![積分法とその応用7 解答1~5行目まで(…(答)含む)](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_7_1/k_mat_3_7_1_7_1_image03.png)
1/tanx=cosx/sinxの分数式と見る
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1/tanxは,
(1/tanx)=cosx/sinx
の分数式として見ることができます。
(分母)'=(sinx)'=cosx=(分子)
より,
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と式変形します。(1/tanx)=f'(x)/f(x)の形になっているので,∫(cosx)/(sinx)dxは, 積分してlog|sinx| となりますね。積分定数Cを加えて答えになります。
答え②
![積分法とその応用7 解答5~6行目まで(…(答)含む)](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_7_1/k_mat_3_7_1_7_1_image05.png)
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tanxの不定積分に,公式はありません。f'(x)/f(x)の積分公式を活用することを覚えておきましょう。
POINT
![積分法とその応用7 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_7_1/k_mat_3_7_1_7_1_image06.png)
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今回は,tanx,1/tanxの不定積分を求める問題です。