高校数学Ⅲ

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5分で解ける!f(ax+b)の不定積分(1)に関する問題

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5分で解ける!f(ax+b)の不定積分(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用10 問題1

解説

これでわかる!
問題の解説授業

展開して積分……は計算が面倒

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(3x+1)4を不定積分する問題です。(3x+1)4を展開しても積分できますが,計算が面倒ですよね。この問題は,(3x+1)4合成関数と見ましょう。f(x)=x4の中に,1次関数3x+1を組み込んだ合成関数と見ると,次の解法が使えますね。

POINT
積分法とその応用10 ポイント

t=3x+1とおく

積分法とその応用10 問題1

lecturer_avatar

1次関数ax+bを組み込んだ合成関数の積分は,t=ax+bとおくのがポイントです。この問題では,t=3x+1とおきましょう。すると,
∫(3x+1)4dx= ∫t4dx
と式変形できます。

dxをdtで表すと……

lecturer_avatar

∫t4dx は,t4xで不定積分するという意味です。t4をtで積分するには,dxをdtに書き換える必要がありますね。いま,t=3x+1より,両辺をxで微分して,
(d/dx)t=3
つまり,dx=(1/3)dtとなるわけです。これを ∫t4dx に代入して,
∫t4dx=(1/3)∫t4dt
tで積分できる式に変形できましたね。

t4を積分した後,xに戻す

積分法とその応用10 問題1 答え 1~3行目

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t4の積分は(1/5)t5です。積分定数Cをつけて,
(1/3)∫t4dt=(1/15)t5+C
となりますね。ここで,tをxの式に戻すことを忘れないでください。tはあくまで積分しやすいように置きかえた文字なので,問題で与えられた文字xに戻す必要があります。

答え
積分法とその応用10 問題1 答え
f(ax+b)の不定積分(1)
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