高校数学Ⅲ

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5分で解ける!f(ax+b)の不定積分(2)に関する問題

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5分で解ける!f(ax+b)の不定積分(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用11 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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1/(3x+1)を不定積分する問題です。1/(3x+1)は合成関数ですね。f(x)=1/xの中に,1次関数3x+1を組み込んだ合成関数と見ると,次の解法が使えますね。

POINT
積分法とその応用11 ポイント

t=3x+1とおく

積分法とその応用11 問題2

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1次関数ax+bを組み込んだ合成関数の積分は,t=ax+bとおくのがポイントです。この問題では,t=3x+1とおきましょう。すると,
∫{1/(3x+1)}dx= ∫(1/t)dx
と式変形できます。

dxをdtで表すと……

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∫(1/t)dx は,1/tをxで不定積分するという意味です。1/tをtで積分するには,dxをdtに書き換える必要がありますね。いま,t=3x+1より,両辺をxで微分して,
(d/dx)t=3
つまり,dx=(1/3)dtとなるわけです。これを ∫(1/t)dx に代入して,
∫(1/t)dx=(1/3)∫(1/t)dt
tで積分できる式に変形できましたね。

1/tを積分した後,xに戻す

積分法とその応用11 問題2 答え 1~4行目

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1/tの積分はlog|t|です。積分定数Cをつけて,
(1/3)∫(1/t)dt=(1/3)log|t|+C
となりますね。ここで,tをxの式に戻すことを忘れないでください。tはあくまで積分しやすいように置きかえた文字なので,問題で与えられた文字xに戻す必要があります。

答え
積分法とその応用11 問題2 答え
f(ax+b)の不定積分(2)
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