高校数学Ⅲ
5分で解ける!f(ax+b)の不定積分(2)に関する問題
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問題
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問題の解説授業
POINT
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t=3x+1とおく
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1次関数ax+bを組み込んだ合成関数の積分は,t=ax+bとおくのがポイントです。この問題では,t=3x+1とおきましょう。すると,
∫{1/(3x+1)}dx= ∫(1/t)dx
と式変形できます。
dxをdtで表すと……
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∫(1/t)dx は,1/tをxで不定積分するという意味です。1/tをtで積分するには,dxをdtに書き換える必要がありますね。いま,t=3x+1より,両辺をxで微分して,
(d/dx)t=3
つまり,dx=(1/3)dtとなるわけです。これを ∫(1/t)dx に代入して,
∫(1/t)dx=(1/3)∫(1/t)dt
tで積分できる式に変形できましたね。
1/tを積分した後,xに戻す
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1/tの積分はlog|t|です。積分定数Cをつけて,
(1/3)∫(1/t)dt=(1/3)log|t|+C
となりますね。ここで,tをxの式に戻すことを忘れないでください。tはあくまで積分しやすいように置きかえた文字なので,問題で与えられた文字xに戻す必要があります。
答え
![積分法とその応用11 問題2 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_11_3/k_mat_3_7_1_11_3_image03.png)
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1/(3x+1)を不定積分する問題です。1/(3x+1)は合成関数ですね。f(x)=1/xの中に,1次関数3x+1を組み込んだ合成関数と見ると,次の解法が使えますね。