今回は置換積分法の第2回目の授業です。x√(x²+1)の不定積分を扱いましょう。

置換積分法とは，xを別の文字に置き換えて積分する方法のことを言います。

今回の問題x√(x²+1)は，xで積分しようと思うと，xと√(x²+1)の積になっている上，√(x²+1)は合成関数になっているので，とても積分しにくいですね。そこで，ルートの中身をシンプルな式に置き換えて積分します。

ルートの中身をシンプルな式に置き換えて積分したいので，x²+1をtに置きかえると，
t=x²+1
ですね。

では，xをtで表すと，どうなりますか？t=x²+1の式からは，xをシンプルなtの式で表しにくいですね。

また，t=x²+1の両辺をxで微分してみると，
(d/dx)t=2x
より，
dt=2xdx
dtをdxだけの式で表すことができません。

実は，ここでxdxをdtに置きかえる視点が重要になってきます。

dt=2xdx
より，
xdx=(1/2)dt
と表せますね。したがって，
∫x√(x²+1)dx
=∫√(t) xdx
=∫√(t) (1/2)dt
= (1/2)∫(t)^(1/2)dt
積の形を解消して，tの(1/2)乗の項だけで表せました。

(1/2)∫(t)^(1/2)dt において，t^(1/2)の積分は(2/3)t^(3/2)です。積分定数Cをつけて，答えが出てきますね。答案では，tをxの式に戻すことを忘れないでください。tはあくまで積分しやすいように置きかえた文字なので，問題で与えられた文字xに戻す必要があります。