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5分で解ける!部分積分法(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用19 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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xcosxを不定積分する問題です。2つの関数の積で表された式の積分は,次の部分積分法を使って計算しましょう。

POINT
積分法とその応用19 ポイント

積分しやすいf(x) 微分しやすいg(x)

積分法とその応用19 問題2

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部分積分法の公式
∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-∫F(x)g'(x)dx
において,xとcosxのどちらがf(x)で,どちらがg(x)かを見極めます。

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xは微分すると1になってくれるので,微分しやすい関数です。したがって,g(x)=xとおきましょう。cosxは積分するとsinxとなり,積分しやすい関数です。f(x)=cosxとおきます。すると,∫F(x)g'(x)dxの部分は,
∫F(x)g'(x)dx=∫(sinx×1)dx=∫sinxdx
となり,積分できる式になりますね,。

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よって,∫f(x)g(x)dxは,部分積分法によって次のように計算できます。

答え
積分法とその応用19 問題2
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積分しやすい方がf(x),微分しやすい方がg(x) という見極めがしっかりできるようになりましょう。

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