高校数学Ⅲ

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5分でわかる!f(ax+b)の不定積分(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

f(ax+b)の不定積分(1)

積分法とその応用10 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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今回は, f(ax+b) の不定積分について解説します。f(ax+b)とは,関数f(x)の中に1次関数ax+bが組み込まれた合成関数を表します。例えば,(3x+1)4は,f(x)=x4の中に,1次関数3x+1を組み込んだ合成関数です。このような合成関数f(ax+b)の不定積分は,どのような式になるのでしょうか?

「t=ax+bとおく」のがコツ

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合成関数f(ax+b)を積分するときは,1次関数ax+bの部分をtとおくのがポイントです。t=ax+bとおくと,合成関数はf(t)と置き換えられ,次のように積分計算できます。

POINT
積分法とその応用10 ポイント
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このポイントについて詳しく解説しましょう。

関数f(t)をtで積分するには?

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1次関数ax+bが組み込まれた合成関数f(ax+b)では,
t=ax+b
とおきます。すると,f(ax+b)の不定積分は,
∫f(ax+b)dx=∫f(t)dx
と立式できますね。

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ただし,∫f(t)dxのdxは,f(t)の式をxで積分するという意味です。f(t)の式は,tで表される式なので,tで積分するという意味のdtに変形しなければなりません。いま,t=ax+bなので,両辺をxで微分して,
(d/dx)t=a
これを分数式のよう式変形して,dxをdtで表すと,
dx=(1/a)dt
となるわけです。

POINT
積分法とその応用10 ポイント
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∫f(t)dxにおいて, dx=(1/a)dt より,
∫f(ax+b)dx=∫f(t)dx=(1/a)∫f(t)dt
と式変形できますね。f(t)をtで不定積分して,係数(1/a)をかけ算したものが,f(ax+b)の不定積分となるわけです。

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大事なポイントは,合成関数f(ax+b)の積分は,1次関数ax+bの部分をtとおくという点です。このポイントを使って問題1,問題2を解いていきましょう。

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

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