高校数学Ⅲ

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5分で解ける!f(ax+b)の不定積分(1)に関する問題

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5分で解ける!f(ax+b)の不定積分(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用10 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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√(2x+3)を不定積分する問題です。√(2x+3)は合成関数ですね。f(x)=√xの中に,1次関数2x+3を組み込んだ合成関数と見ると,次の解法が使えますね。

POINT
積分法とその応用10 ポイント

t=2x+3とおく

積分法とその応用10 問題2

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1次関数ax+bを組み込んだ合成関数の積分は,t=ax+bとおくのがポイントです。この問題では,t=2x+3とおきましょう。すると,
∫√(2x+3)dx=∫√(t)dx= ∫t(1/2)dx
と式変形できます。

dxをdtで表すと……

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∫t(1/2)dx は,t(1/2)xで不定積分するという意味です。t(1/2)をtで積分するには,dxをdtに書き換える必要がありますね。いま,t=2x+3より,両辺をxで微分して,
(d/dx)t=2
つまり,dx=(1/2)dtとなるわけです。これを ∫t(1/2)dx に代入して,
∫t(1/2)dx=(1/2)∫t(1/2)dt
tで積分できる式に変形できましたね。

t(1/2)を積分した後,xに戻す

積分法とその応用10 問題2 答え 1~4行目

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t(1/2)の積分は(2/3)t(3/2)です。積分定数Cをつけて,
(1/2)∫t(1/2)dt=(1/3)t(3/2)+C
となりますね。ここで,tをxの式に戻すことを忘れないでください。tはあくまで積分しやすいように置きかえた文字なので,問題で与えられた文字xに戻す必要があります。

答え
積分法とその応用10 問題2 答え
f(ax+b)の不定積分(1)
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