高校数学Ⅲ
5分で解ける!f(ax+b)の不定積分(2)に関する問題
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解説
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問題の解説授業
POINT
![積分法とその応用11 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_11_2/k_mat_3_7_1_11_1_image01.png)
t=1-2xとおく
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1次関数ax+bを組み込んだ合成関数の積分は,t=ax+bとおくのがポイントです。この問題では,t=1-2xとおきましょう。すると,
∫e1-2xdx= ∫etdx
と式変形できます。
dxをdtで表すと……
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∫etdx は,etをxで不定積分するという意味です。etをtで積分するには,dxをdtに書き換える必要がありますね。いま,t=1-2xより,両辺をxで微分して,
(d/dx)t=-2
つまり,dx=-(1/2)dtとなるわけです。これを ∫etdx に代入して,
∫etdx=-(1/2)∫etdt
tで積分できる式に変形できましたね。
etを積分した後,xに戻す
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etの積分はetと無変化です。積分定数Cをつけて,
-(1/2)∫etdt=-(1/2)et+C
となりますね。ここで,tをxの式に戻すことを忘れないでください。tはあくまで積分しやすいように置きかえた文字なので,問題で与えられた文字xに戻す必要があります。
答え
![積分法とその応用11 問題1 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_1_11_2/k_mat_3_7_1_11_2_image03.png)
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e1-2xを不定積分する問題です。e1-2xは,合成関数ですね。f(x)=exの中に,1次関数1-2xを組み込んだ合成関数と見ると,次の解法が使えます。