高校数学Ⅲ

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5分で解ける!部分積分法(2)に関する問題

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5分で解ける!部分積分法(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
部分積分法(2)

積分法とその応用20 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業

対数関数logxの積分

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logx,xlogxを不定積分する問題です。対数関数logxの積分は,この授業で初登場です。logxの積分に公式はなく,実は部分積分法を活用すると,計算ができるのです。

logx=1×logxと見る!

積分法とその応用20 問題

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では,logxに部分積分法を適用していきましょう。しかし,ここで「あれっ!?」と思う人も多いのではないでしょうか? 部分積分法は,2つの関数の積で表された式の積分を計算しやすくする方法でした。logxは積の形になっていませんよね。

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実は,logx=1×logxと見るのがとても重要なポイントになります。

POINT
積分法とその応用20 ポイント
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積分しやすい1をf(x),微分しやすいlogxをg(x)と見ることで,積分計算を進めることができるのです。

積分しやすいf(x) 微分しやすいg(x)

積分法とその応用20 問題2

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部分積分法の公式
∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-∫F(x)g'(x)dx
において,f(x)=1,g(x)=logxとおくと,g'(x)=(logx)'=(1/x)です。∫F(x)g'(x)dxの部分は,
∫F(x)g'(x)dx=∫x×(1/x)dx=∫1dx
となり,積分できる式になりますね,。

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よって,次のように計算できますね。

答え①
積分法とその応用20 問題2 答え1~4行目まで
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同様に,xlogxの積分においても,f(x)=x,g(x)=logxとおくと,次のように計算できます。

答え②
積分法とその応用20 問題2 答え5~9行目まで
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logxの積分は,部分積分法を使う という解法をしっかり覚えておきましょう。

部分積分法(2)
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