高校数学Ⅲ

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5分でわかる!部分積分法(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

部分積分法(1)

積分法とその応用19 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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今回から計3回の授業で,部分積分法について解説しましょう。

部分積分法とは?

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部分積分法とは,関数の積の積分計算しやすいように変形する方法のことをいいます。ある2つの関数f(x),g(x)について,積で表されたf(x)g(x)の不定積分∫f(x)g(x)dxを考えます。∫f(x)g(x)dxは,部分積分法を使うと,次のように計算できます。

部分積分法
積分法とその応用19 ポイント 小見出しなし 1~2行目
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この式は部分積分法の公式として覚えておく必要があります。

積分しやすいf(x) 微分しやすいg(x)

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もう一度,部分積分法の式を眺めてみましょう。

部分積分法
積分法とその応用19 ポイント 小見出しなし 1~2行目
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2つの関数f(x),g(x)のうち,f(x)は積分されたF(x)になっていますね。部分積分法とは,計算しやすいように変形する方法なので,積分しやすいほうをf(x)にあてはめてください。一方,g(x)は微分されたg'(x)になっています。微分しやすいほうをg(x)にあてはめてください。

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例えば,xexの積分を考えます。xは微分すると1になってくれるのでg(x)=xとおき,exは積分してもexのままなのでf(x)=exとおきます。すると,∫f(x)g(x)dxは,部分積分法によって次のように計算できるわけです。

POINT
積分法とその応用19 ポイント
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この部分積分法を活用して,問題1,問題2にチャレンジしてみましょう。

部分積分法の証明

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なお,部分積分法は,積の微分公式より証明できます。

部分積分法の証明

2つの関数f(x),g(x)について,∫f(x)dx=F(x)とするとき,積の微分公式より,

{F(x)g(x)}'=f(x)g(x)+F(x)g'(x)

両辺を積分して,

F(x)g(x)=∫f(x)g(x)+∫F(x)g'(x)

∫f(x)g(x)=F(x)g(x)-∫F(x)g'(x)

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導出ももちろん大事ですが,一番重要なのはf(x)とg(x)の見極めです。 積分しやすい方がf(x),微分しやすい方がg(x) を覚えておきましょう。

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

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