高校数学Ⅲ

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5分で解ける!置換積分法(4)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
置換積分法(4)

積分法とその応用15 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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今回は置換積分法の第4回目の授業です。sin2xcosxの不定積分を扱いましょう。

1つしかないcosxに注目!

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sinxcosxの不定積分であれば,三角関数の2倍角の公式sinxcosx=(1/2)sin2xを使った式変形をすれば,積分できます。しかし,今回の問題のように,sin2xcosxの形は,三角関数の公式を使った変形がうまくいきません。実は,この問題,t=cosxと置いて積分するパターンだと知っておく必要があります。

POINT
積分法とその応用15 ポイント 小見出しと1~3行目
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パターンを見抜くコツは,1つしかないcosxに注目することです。1つしかないcosxの部分を,cosxdxのカタマリで見ます。そして,残った式をt=sinxの関数と見ると,積分計算を進めることができます。……といっても,抽象的なポイントではわかりませんよね。具体的に,sin2xcosxを積分していきましょう。

t=sinxとおいて,両辺を微分

積分法とその応用15 問題

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∫(sin2xcosx)dxは,
∫(sin2x)cosxdx
と見ます。

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ここで,sinxをtに置きかえると,
t=sinx
ですね。この式の両辺をxで微分すると,
(d/dx)t=cosx
より,
dt=cosxdx
cosxdxをdtに置きかえることができますね!

cosxdxをdtに置きかえる

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cosxdx=dt
を使うと,
∫(sin2x)cosxdx
=∫t2 dt
tの不定積分の式に書き換えられました。

tで積分した後,xに戻す

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t2の積分は(1/3)t3です。積分定数Cをつけて,答えが出てきますね。答案では,tをxの式に戻すことを忘れないでください。tはあくまで積分しやすいように置きかえた文字なので,問題で与えられた文字xに戻す必要があります。

答え
積分法とその応用15 問題 答え

t=cosxとおくパターンもある!

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sin,cosが入り混じった関数の積分方法がわかりましたか? 今回は,1つしかないcosxに注目して,t=sinxとおきました。これがもし,1つしかないのがsinxだった場合,u=cosxとおいて計算を進めることになります。

POINT
積分法とその応用15 ポイント
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大事なポイントは,1つしかないsinx,cosxに注目することです。ここをしっかりおさえておきましょう。

置換積分法(4)
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