高校数学Ⅲ

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5分で解ける!f´(x)/f(x)の不定積分(1)に関する問題

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5分で解ける!f´(x)/f(x)の不定積分(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用6 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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x/(x2+3)の不定積分を求める問題です。分数関数の積分は,次の積分公式の⑧を活用しましょう。

積分公式
積分法とその応用1 ポイント 下の2行分(できれば,=をつなげて1行におさめる)

積分法とその応用2 ポイント 下の2行分

積分法とその応用3 ポイント 2行目と4行目(※符号に注意!は不要)

積分法とその応用4 ポイント 一番下の行だけ

積分法とその応用5 ポイント 2行目と4行目

積分法とその応用6 ポイント 下の2行分

分母(x2+3)を微分すると……

積分法とその応用6 問題2

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分数式は, f'(x)/f(x) の形になっていれば, 積分してlog|f(x)| というシンプルな式になりますね。

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そこで,(分母)=x2+3 を微分してみます。
(分母)'
=(x2+3)'
=2x
(分子)のxとは異なる式になってしまいました。

(1/2)をかけ算して補正

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しかし,ここで f'(x)/f(x) の公式は使えない……と諦めてはいけません。(分母)'=2xの両辺に(1/2)をかけ算して補正すると,
(分母)'×(1/2)=x=(分子)
よって,

積分法とその応用6 問題2 答え1~2行目

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と式変形できますね。(2x)/(x2+3)は, f'(x)/f(x) の形になっていることから, 積分してlog|x2+3| です。積分定数Cをつけて,次のように答えを求めることができます。

答え
積分法とその応用6 問題2 答え
f´(x)/f(x)の不定積分(1)
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