高校数学B

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5分で解ける!交点に至るベクトルの計算に関する問題

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5分で解ける!交点に至るベクトルの計算に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校数学B ベクトル22 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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直線ADと直線BCの交点Pをベクトルで表す問題です。2直線の交点をベクトルで表す問題は、大学入試でも頻出のテーマですよ。解法のポイントをしっかり確認しておきましょう。

POINT
高校数B ベクトル22 ポイント

まずは図を書こう

高校数学B ベクトル22 練習

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問題文をサッと読むだけでは、点Pのイメージがつきませんね。まずはラフ図を書いてみましょう。

高校数学B ベクトル22 練習 答えの図のみ
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点Pが 直線AD上 にあり、かつ、 直線BC上 にあることがよくわかりましたね。

直線上にある⇔係数の和が1

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では、まず点Pが 直線BC上 にあるという条件から立式しましょう。適当な実数sを用いて、
ベクトルOP= s ベクトルOC+ (1-s) ベクトルOB
⇔ベクトルOP= s/2 ベクトルOA+ (1-s) ベクトルOB……①
と表せます。点CはOAの中点なので ベクトルOC=1/2ベクトルOA となり、上式のように変換できますね。

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次に、点Pが 直線AD上 にあるという条件も立式しましょう。適当な実数tを用いて、
ベクトルOP= t ベクトルOA+ (1-t) ベクトルOD
⇔ベクトルOP= t ベクトルOA+ 2(1-t)/3 ベクトルOB……②
と表せます。点DはOBを2:1に内分する点なので ベクトルOD=2/3ベクトルOB となり、上式のように変換できますね。

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ここで、①②の式をよく見比べましょう。いずれもベクトルOA,OBの和で表したベクトルになるので、①②の係数は一致します。
s/2=t
1-s=2/3(1-t)
この連立方程式を解くことで、答えは次のように求まりますね。

答え
高校数学B ベクトル22 練習 答え
交点に至るベクトルの計算
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