今回のテーマは ベクトルの内積と成分 です。ベクトルa，bの内積は、 (ベクトルaの大きさ)×(ベクトルbの大きさ)×cosθ で定義されましたね。

今回は、ベクトルa，bの内積を成分で表すことを考えてみましょう。

(ベクトルa)=(x₁,y₁),(ベクトルb)=(x₂,y₂)とします。この2つのベクトルの内積は、次の公式によって求めることができます。

つまり、 x成分の積x₁x₂とy成分の積y₁y₂の和が内積となる のですね。内積は、 (ベクトルaの大きさ)×(ベクトルbの大きさ)×cosθ の求め方だけでなく、 x成分の積とy成分の積yの和 の求め方も覚えておきましょう。

なお、内積と成分の公式は、余弦定理を活用することで導かれたものです。すなわち、△OABにおいて、余弦定理より、
｜ベクトルAB｜²=｜ベクトルOA｜²+｜ベクトルOB｜²-2×(ベクトルOA,OBの内積)
が成り立ち、この式に(ベクトルOA)=(x₁,y₁)，(ベクトルOB)=(x₂,y₂)とすると、次の公式が得られるのです。