今回は、 ベクトルにおける直線AB上の点Pの表し方 を学習していきましょう。

早速、ポイントから紹介します。直線AB上に点Pが存在するとき、ベクトルOAとベクトルOBでOPベクトルを表すと、次のようになります。

ポイントで一番重要なのは、 ベクトルOAとベクトルOBの係数を足すと1になる ということです。つまり、 直線AB上に点Pがある⇒ベクトルOPを、ベクトルOA,OBで表すと、係数の和が1 になるのですね。

また、この逆も成り立ちます。 ベクトルOPを、ベクトルOA,OBで表すと、係数の和が1 であれば、 直線AB上に点Pがある といえるのですね。

直線AB上に点Pがあるとき、ベクトルOPを、ベクトルOA,OBで表すと、係数の和が1になる理由はわかりますか？ 以前に学習した ベクトルの分点公式 を思い出してみましょう。

点Pが線分ABの内分点あるいは外分点のとき、上のポイントが成り立ちましたね。ここで係数に注目すると、 {n/(m+n)}+{m/(m+n)}=(m+n)/(m+n)=1 となり、点Pが線分ABの分点であれば、必ず 係数の和が1 が成り立つことがわかります。点Pが線分ABの分点であるとき、点Pは直線AB上にあるので、今回のポイントが成り立つわけです。

ベクトルの問題を解くとき、この 係数の和が1 のポイントは非常に有効です。実際に、次からの例題・練習を一緒に解いてみましょう。