今回のテーマは 直線のベクトル方程式 です。座標平面において、1次関数の直線がy=ax+bの関係式で表せたように、直線のベクトルもある関係式で表現できます。

次のポイントをもとに詳しく解説していきましょう。

上の図で、 点Aを通り、傾きがベクトルuに平行な直線ℓ の方程式について考えます。この直線上の点Pは、どのような関係式を満たすかわかりますか？

まず、 ベクトルAP//ベクトルu の平行条件より、
ベクトルAP=tベクトルu (tは変数)
と表すことができますね。
さらに、
ベクトルAP=ベクトルOP-ベクトルOA
と分解できるので、
ベクトルOP-ベクトルOA＝tベクトルu
⇔ ベクトルOP=tベクトルu+ベクトルOA
と表すことができます。この 関係式を満たす点Pを集めていくと、直線ℓになります よね。つまり、この関係式こそが 直線ℓのベクトル方程式になる のです。

直線のベクトル方程式に必要な要素は2つ。 方向（傾き）を表すベクトルu と 通る1点を表すベクトルOA です。

といっても、はじめてベクトルの直線の方程式を学習すると、イメージしにくいですよね。そんなときは、 1次関数の方程式y=ax+b と関連付けると覚えやすくなります。1次関数の方程式も、 傾き と 1点の座標 によって式を決定することができました。