直線CDと直線ABの交点Pをベクトルで表す問題です。2直線の交点をベクトルで表す問題は、大学入試でも頻出のテーマですよ。解法のポイントをしっかり確認しておきましょう。

問題文をサッと読むだけでは、点Pのイメージがつきませんね。まずはラフ図を書いてみましょう。

点Pが 直線CD上 にあり、かつ、 直線AB上 にあることがよくわかりましたね。

では、まず点Pが 直線CD上 にあるという条件から立式しましょう。適当な実数sを用いて、
ベクトルOP= s ベクトルOC+ (1-s) ベクトルOD……①
と表せます。 係数の和が1 に注目しましょう。

さらに、①の式をベクトルOA,OBで表すことを考えます。
点CはOAを1：2に内分する点なので、
ベクトルOC=1/3ベクトルOA
点DはOBの中点なので
ベクトルOC=1/2ベクトルOB
①に代入すると
ベクトルOP= s/3 ベクトルOA+ (1-s)/2 ベクトルOB……②
となります。

ここで、点Pは 直線AB上にある という条件も考えましょう。②の式で、係数の和は1になるので、
s/3+1/2(1-s)=1
これを解くとs=-3となり、ベクトルOP=-ベクトルOA+2ベクトルOBと求まります。