ベクトルcを、ベクトルa,bを用いて表す問題ですね。次のポイントのように、図形的な意味を考えながら解いていきましょう。

3つのベクトルの成分がわかっているので、 (ベクトルc)=s(ベクトルa)+t(ベクトルb) に代入しましょう。
(8,-3)=s(2,1)+t(-1,3)
となりますね。x成分,y成分同士の計算をすると、
(8,-3)=(2s-t,s+3t)
x,y成分は等しいので
2s-t=8,s+3t=-3
となり、連立方程式が出てきました。これを解くと、s=3,t=-2となります。