ベクトルcを、ベクトルa,bを用いて表す問題ですね。次のポイントのように、図形的な意味を考えながら解いていきましょう。

3つのベクトルの成分がわかっているので、 (ベクトルc)=s(ベクトルa)+t(ベクトルb) に代入しましょう。
(5,4)=s(1,2)+t(1,-1)
となりますね。x成分,y成分同士の計算をすると、
(5,4)=(s+t,2s-t)
x,y成分は等しいので
s+t=5,2s-t=4
となり、連立方程式が出てきました。これを解くと、s=3,t=2となります。