高校数学A

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5分で解ける!「互いに素」を使う証明問題に関する問題

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5分で解ける!「互いに素」を使う証明問題に関する問題

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この動画の問題と解説

例題

一緒に解いてみよう

高校数学A 整数の性質15 例題

解説

これでわかる!
例題の解説授業
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「nが2の倍数」「n+1が3の倍数」という2つのヒントを利用して、「n+4が6の倍数」であることを証明する問題だね。

「nが2の倍数」を数式にすると……

高校数学A 整数の性質15 例題

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この証明問題の仮定(ヒント)は「nが2の倍数」「n+1が3の倍数」だね。「~の倍数」というヒントが与えられたときの数式の表し方は覚えているかな?

POINT
高校数学A 整数の性質1 ポイント
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このポイントを利用すれば、
nが2の倍数 ➔ n=2k (kは自然数)
n+1が3の倍数 ➔ n+1=3ℓ (ℓは自然数)
と、数式で表すことができるね。

「n+4」を式変形してみよう

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最終的に言いたいのは、 「n+4が6の倍数」「n+4=6×(整数)」 の形を目指す、というイメージを持っておこう。

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実際に「n+4」の式変形を進めてみると、
n=2kを代入して、
n+4=2k+4= 2(k+2)
「n+4」が2の倍数ということまではわかったね!

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n=3ℓ-1を代入して、
n+4=(3ℓ-1)+4= 3(ℓ+1)
「n+4」が3の倍数ということまではわかったね!

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つまり
n+4= 2(k+2)3(ℓ+1)
となるね。

「互いに素」を使う!

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さあ、ここから 「n+4が6の倍数」 まで証明するには、どうしたらいいか? 「互いに素」を利用する次のポイントが活用できるんだ。

POINT
高校数学A 整数の性質15 ポイント
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今回の例題にあてはめて考えよう。
n+4=2(k+2)=3(ℓ+1)より、
2 (k+2)= 3 (ℓ+1)
「2と3は互いに素」 だから、k+2は 「3の倍数」 だと言えるよ。ということは、 2 (k+2)は 「6の倍数」 だ。

証明の書き方は「3ステップ」!

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あとは、こうして整理できたことを、証明の文章にすればOK。証明の書き方は、ハンバーガーのような 「3ステップ」 を意識するとうまくかけるよ。

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ステップ1
証明は、「① 文字でおく」ことから始めよう。

高校数学A 整数の性質15 例題の答え 2行目まで
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ステップ2
ステップ1でできあがった数式をもとに、「② 計算」を進めよう。

高校数学A 整数の性質15 例題の答え 3行目から7行目まで
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ステップ3
最後に、 「③ 結論」 を導けば、証明の完成だよ。

答え
高校数学A 整数の性質15 例題の答え 全部
「互いに素」を使う証明問題
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