高校数学A

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5分でわかる!「約数の個数」の求め方

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この動画の要点まとめ

ポイント

「約数の個数」の求め方

高校数学A 整数の性質10 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業

約数の「個数」を計算する!

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「約数」 は、簡単にいうと 「割り切れる整数」 のことだったね。今回は、 「約数の個数」 を求める方法について学習しよう。例えば「12の約数」だったら、「1,2,3,4,6,12」だから、個数は 6個 というわけだよ。

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実はこの「約数の個数」、今やったように全部調べ上げなくても、簡単な計算で求めることができるんだ。ポイントを見てみよう。

POINT
高校数学A 整数の性質10 ポイント
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素因数分解したあと、それぞれの素因数の指数(右肩の数字)に1を足したものをかけ算していく ことで求めることができるんだ。

(右肩+1)のかけ算!

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例えば、12の約数の個数を計算で求めてみよう。

高校数学A 整数の性質10 ポイントの下2行分
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12を素因数分解すると、 「22×3」 となるね。ここでは分かりやすく、 「22×31 と書いているよ。ここで、 「22×31 の「指数」の部分、つまり、右肩の数字に注目しよう。 (右肩の数字+1) をかけ算してやれば、それが 約数の個数 になるんだ。

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つまりここでは、「2の 2 乗」と「3の 1 乗」だから、( 2 +1)×( 1 +1)=6 となるよ。12の約数は 6個 。正しく計算できているよね。

【補足】「右肩+1」の種明かし

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約数の個数は、 素因数分解したあと、それぞれの素因数の指数(右肩の数字)に1を足したものをかけ算していく ことで求めることができる――でも、これってなぜだろう? 余裕があれば、 約数の個数は「右肩+1のかけ算」 の理由もおさえておこう。

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実は、 場合の数の考え方 を利用しているんだ。12の例で説明しよう。

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12の約数は、必ず12の素因数のうちのどれかを含み、12の素因数以外は含まないわけだよね。要するに、12を素因数分解したときにでてくる、「22(20,21を含む)」「31(30を含む)」のかけ算の組合せで約数はできるんだ。
つまり、
1=20×30
2=21×30
3=20×31
4=22×30
6=21×31
12=22×31
というわけだね。

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この約数の個数を、 場合の数 で数えると、「 202122 」の中から、2をかける個数を選び、次に3について、「 3031 」の中から、3をかける個数を選ぶことになる。2の選び方は 「2+1」 で3通り、3の選び方は 「1+1」 で2通り。全部で (2+1)×(1+1)=6(通り) というわけだね。

Imagawa

この授業の先生

今川 和哉 先生

どんなに数学がニガテな生徒でも「これだけ身につければ解ける」という超重要ポイントを、 中学生が覚えやすいフレーズとビジュアルで整理。難解に思える高校数学も、優しく丁寧な語り口で指導。

「約数の個数」の求め方
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