高校数学Ⅲ

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5分で解ける!片側からの極限(1)に関する問題

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5分で解ける!片側からの極限(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

極限25 問題1

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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xが1を目指して進むときの(x2-1)/|x-1|の極限値を求める問題です。ただし,単純にxが1を目指して進むのではありません。limの下に注目しましょう。「x→1-0」とあります。これは左側極限を表しますね。

POINT
極限25 ポイント
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今回の問題は,xが1より小さい値から1に近づくという点を意識しましょう。

|x-1|の絶対値を外すには?

極限25 問題1

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xが1に近づくので,まずはx=1を単純代入してみましょう。(x2-1)/|x-1|は分母・分子がともに0となってしまい,「0÷0」の不定形となってしまいますね。したがって,約分により,不定形を解消する必要があります。

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ところが,分母|x-1|の絶対値記号が邪魔をして約分がしにくくなっていますね。そこで,「x→1-0」の意味をきちんとイメージして考えてみましょう。xが1より小さい値から1に近づくということは,
x→0.9→0.99→……
のように近づくのですね。このとき,|x-1|はどうなりますか? x-1<0を満たしながら,0に近づいていくことがわかりますね。したがって,|x-1|=-(x-1)として絶対値記号を外すことができるのです。

極限25 問題1 答え1~3行目まで

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分母の絶対値を外し,分子を因数分解することにより,(x-1)で約分できる形になりました。約分計算のあと,x=1を単純代入すると,求める左側極限の値が出てきます。

答え
極限25 問題1 答え
片側からの極限(1)
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