高校数学Ⅲ

高校数学Ⅲ
5分で解ける!関数の連続性に関する問題

172

5分で解ける!関数の連続性に関する問題

172
トライ式高等学院通信制高校トライ式高等学院通信制高校

この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
関数の連続性

極限35 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
lecturer_avatar

関数f(x)がx=1で不連続であることを示す問題です。関数が不連続であるとは,一体どんなことかわかりますか?

「関数の連続・不連続」とは?

lecturer_avatar

解法のポイントになるのは,関数の連続性です。

lecturer_avatar

みなさんがこれまでに学習してきた関数は,1次関数y=ax+bの直線や,2次関数y=ax2+bx+cの放物線のようにグラフがつながっている関数が多かったですよね。グラフがプツっと途切れることなく連続してつながるような関数を連続関数と言います。一方,切れ目があるような関数を不連続関数と言います。

lecturer_avatar

今回の問題では,f(x)=(x2-1)/(x-1)の式では,x=1のときのf(x)の値は定義できません。x=1を単純代入すると,分母が0になってしまうからです。したがって,x=1のときは,別にf(x)=1と定めています。

極限35 問題

lecturer_avatar

このx=1のところで,関数f(x)のグラフがつながっていれば連続関数,途切れていれば不連続関数になるのですね。

「関数の連続・不連続」の証明

lecturer_avatar

では,関数の連続・不連続はどう示せばよいでしょうか? 関数の連続・不連続は,式を用いると次のように定義されます。

POINT
極限35 問題
lecturer_avatar

ようするに,関数f(x)について,x=aを単純代入したf(a)の値が,x=aにおけるf(x)の極限と一致すれば,連続であるといえるのですね。一方,x=aを単純代入したf(a)の値が,x=aにおけるf(x)の極限と異なれば,不連続となるのです。……といっても,抽象的な話ばかりでは理解しづらいですよね。実際にこの問題を通して考えていきましょう。

x=1における関数f(x)の値は?

極限35 問題

lecturer_avatar

まずはx=1における関数f(x)の値を求めます。問題の式より,f(1)=1……①であることがわかりますね。

極限35 問題 答え1~3行目まで

x=1における関数f(x)の極限は?

lecturer_avatar

次に,x=1におけるf(x)の極限を求めます。f(x)=(x2-1)/(x-1)の式は,分子を因数分解して約分すると,
f(x)=(x2-1)/(x-1)=(x+1)(x-1)/(x+1)=x+1
となるので,極限は次のようになりますね。

極限35 問題 答え4~5行目まで

lecturer_avatar

x=1におけるf(x)の極限は2……②であることがわかりました。

f(1)とf(x)の極限が異なるから……

lecturer_avatar

f(1)=1……①
f(x)の極限は2……②
①,②より,f(1)の値は,x=1におけるf(x)の極限と一致しません。したがって,x=1で関数f(x)は不連続であると言えるのです。

答え
極限35 問題 答え
トライ式高等学院通信制高校
関数の連続性
172
友達にシェアしよう!
トライ式高等学院通信制高校

この授業のポイント・問題を確認しよう

極限

      会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
      ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
      こちらをご覧ください。

      関数の極限

      トライ式高等学院通信制高校トライ式高等学院通信制高校

      高校数学Ⅲ