高校数学Ⅲ

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5分で解ける!中間値の定理に関する問題

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5分で解ける!中間値の定理に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

極限36 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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2x-3x=0が,3<x<4の範囲に解を持つことを示す問題です。問題1と同様,式を眺めるだけでは,何をしていいか見当がつきません。しかし関数y=2x-3xのグラフをイメージすると,どうでしょうか? y=2x-3xという曲線が,3<x<4の範囲でx軸と交われば,この範囲で実数解を持つといえますね。中間値の定理を活用しましょう。

POINT
極限36 ポイント

関数f(x)=2x-3xの連続を確認

極限36 問題2

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中間値の定理を使って証明していきます。まずは,f(x)=2x-3xとおき,関数f(x)が3<x<4の範囲で連続であることを確認します。

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f(x)=2x-3xにおいて,指数関数の曲線y=2xは連続であり,直線y=-3xも連続です。(連続関数)+(連続関数)なので,f(x)=2x-3xも連続であると言えます。

f(3)とf(4)の符号を確認

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次に,y=f(x)のグラフの左端と右端の符号を求めましょう。
左端のx=3のとき
f(3)=23-3×3=-1<0
右端のx=4のとき
f(4)=24-3×4=4>0

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y=f(x)のグラフの左端と右端が異符号であることがわかりましたね。よって中間値の定理より,2x-3x=0は3<x<4の範囲に解を持つと言えます。

答え
極限36 問題2 答え
中間値の定理
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