高校数学Ⅲ

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5分でわかる!三角関数の極限(3)

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この動画の要点まとめ

ポイント

三角関数の極限(3)

極限31 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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三角関数の極限の中でも特に重要な公式,xが0を目指すときのsinx/xの極限について学習していきましょう。

sinx/xの極限は?

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前回の授業でもsinx/xの極限を扱いましたが,前回はxが∞を目指しました。今回は,xが0を目指すときのsinx/xの極限を扱います。x→0のとき,sinx/xの分母xは0を目指して進み,sinxも0に向かいますね。x=0を単純代入すると,sinx/xは 「0÷0」の不定形 となってしまいます。

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「0÷0」の不定形を解消するために,はさみうちの原理などを活用して計算していくと,最終的にxが0を目指すときのsinx/xの極限は1という結果が得られます。

POINT
極限31 ポイント 見出しのぞく 1~2行目のみ

sinx/xの公式の活用法

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xが0を目指すときのsinx/xの極限は1という公式は,極限の計算で頻出です。必ず覚えてください。ただし,公式を丸暗記するだけでは十分に使いこなせません。次の2つのチェックポイントも一緒におさえておきましょう。

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チェックポイント①
分子のsin□,分母の□が同じものになる
公式はsinx/xですが,分子のsin□,分母の□は同じものであれば何でも構いません。例えば,sin2x/2xやsin5x/5xでもこの公式が使えるのです。

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チェックポイント②
分母の□は0を目指して進む
limの下は,分母が0に近づく条件であることを確認しましょう。sinx/xの極限でも,前回の問題のようにxが∞を目指すときは1になりませんでしたね。

POINT
極限31 ポイント
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このポイントを活用して,さっそく次の練習問題を解いてみましょう。

sinx/xの公式の証明

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なおxが0を目指すときのsinx/xの極限は1という公式は,半径1,中心角xの扇形の面積の極限を考えることで次のように導出できます。

xが0を目指すときのsinx/xの極限
極限31 新規 フォルダに入れてあるpdf全体を画像化して入れていただけませんでしょうか?

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

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