高校数学Ⅲ
5分で解ける!片側からの極限(2)に関する問題
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- 問題
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この動画の問題と解説
問題
一緒に解いてみよう
片側からの極限(2)
解説
これでわかる!
問題の解説授業
「左側極限と右側極限の不一致」を示す!
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解法のポイントになるのは,極限が存在する条件です。関数f(x)について,「x→a」の極限が存在するのは,左側極限と右側極限が一致するときだけと定義されています。なぜならば,もし左側極限と右側極限が一致しないのであれば,関数f(x)について,「x→a」の極限が複数存在してしまうことになるからです。
POINT
![極限26 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/4_2_26_1/k_mat_3_4_2_26_1_image02.png)
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この問題では,左側極限と右側極限の不一致を示すことができれば, 「x→a」の極限が存在しない ことを証明できますね。
左側極限を求めよう
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では,問題の誘導にしたがって,まずは 「x→-0」つまり「xが負の値から0に近づく」ときの極限 を求めていきましょう。
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(x2+x)/|x|が約分できるように,|x|の絶対値を外すことを考えます。xが負の値から0に近づくとき,必ずx<0なので, |x|=-x と式変形できますね。
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分子を因数分解し,分母・分子をxで約分しましょう。出てきた式にx=0を代入すると,左側極限が出てきます。
右側極限を求めよう
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次に, 「x→+0」つまり「xが正の値から0に近づく」ときの極限 を求めていきましょう。
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(x2+x)/|x|が約分できるように,|x|の絶対値を外すことを考えます。xが正の値から0に近づくとき,必ずx>0なので, |x|=x と式変形できますね。分子を因数分解し,分母・分子をxで約分しましょう。出てきた式にx=0を代入すると,右側極限が出てきます。
左側極限と右側極限が一致しないから……
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xが0を目指すときの左側極限が-1,右側極限1と求まりました。2つの値が一致しないとき,関数f(x)において,「x→0」の極限は存在しないことになりますね。
答え
![極限26 問題 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/4_2_26_1/k_mat_3_4_2_26_1_image06.png)
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極限が存在する条件は「左側極限と右側極限の一致」ということをしっかり覚えておきましょう。
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xが0を目指して進むとき,(x2+x)/|x|の極限値が存在しないことを示す問題です。少し難しそうに見えますね。