xが0を目指して進むとき，(x²+x)/|x|の極限値が存在しないことを示す問題です。少し難しそうに見えますね。

解法のポイントになるのは，極限が存在する条件です。関数f(x)について，「x→a」の極限が存在するのは，左側極限と右側極限が一致するときだけと定義されています。なぜならば，もし左側極限と右側極限が一致しないのであれば，関数f(x)について，「x→a」の極限が複数存在してしまうことになるからです。

この問題では，左側極限と右側極限の不一致を示すことができれば， 「x→a」の極限が存在しない ことを証明できますね。

では，問題の誘導にしたがって，まずは 「x→-0」つまり「xが負の値から0に近づく」ときの極限 を求めていきましょう。

(x²+x)/|x|が約分できるように，|x|の絶対値を外すことを考えます。xが負の値から0に近づくとき，必ずx＜0なので， |x|=-x と式変形できますね。

分子を因数分解し，分母・分子をxで約分しましょう。出てきた式にx=0を代入すると，左側極限が出てきます。

次に， 「x→+0」つまり「xが正の値から0に近づく」ときの極限 を求めていきましょう。

(x²+x)/|x|が約分できるように，|x|の絶対値を外すことを考えます。xが正の値から0に近づくとき，必ずx＞0なので， |x|=x と式変形できますね。分子を因数分解し，分母・分子をxで約分しましょう。出てきた式にx=0を代入すると，右側極限が出てきます。

xが0を目指すときの左側極限が-1，右側極限1と求まりました。2つの値が一致しないとき，関数f(x)において，「x→0」の極限は存在しないことになりますね。

極限が存在する条件は「左側極限と右側極限の一致」ということをしっかり覚えておきましょう。