高校数学Ⅲ

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5分で解ける!片側からの極限(2)に関する問題

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5分で解ける!片側からの極限(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
片側からの極限(2)

極限26 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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xが0を目指して進むとき,(x2+x)/|x|の極限値が存在しないことを示す問題です。少し難しそうに見えますね。

「左側極限と右側極限の不一致」を示す!

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解法のポイントになるのは,極限が存在する条件です。関数f(x)について,「x→a」の極限が存在するのは,左側極限と右側極限が一致するときだけと定義されています。なぜならば,もし左側極限と右側極限が一致しないのであれば,関数f(x)について,「x→a」の極限が複数存在してしまうことになるからです。

POINT
極限26 ポイント
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この問題では,左側極限と右側極限の不一致を示すことができれば, 「x→a」の極限が存在しない ことを証明できますね。

左側極限を求めよう

極限26 問題

lecturer_avatar

では,問題の誘導にしたがって,まずは 「x→-0」つまり「xが負の値から0に近づく」ときの極限 を求めていきましょう。

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(x2+x)/|x|が約分できるように,|x|の絶対値を外すことを考えます。xが負の値から0に近づくとき,必ずx<0なので, |x|=-x と式変形できますね。

極限26 問題 答え1~3行目

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分子を因数分解し,分母・分子をxで約分しましょう。出てきた式にx=0を代入すると,左側極限が出てきます。

極限26 問題 答え3~6行目

右側極限を求めよう

極限26 問題

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次に, 「x→+0」つまり「xが正の値から0に近づく」ときの極限 を求めていきましょう。

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(x2+x)/|x|が約分できるように,|x|の絶対値を外すことを考えます。xが正の値から0に近づくとき,必ずx>0なので, |x|=x と式変形できますね。分子を因数分解し,分母・分子をxで約分しましょう。出てきた式にx=0を代入すると,右側極限が出てきます。

極限26 問題 答え7~10行目

左側極限と右側極限が一致しないから……

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xが0を目指すときの左側極限が-1,右側極限1と求まりました。2つの値が一致しないとき,関数f(x)において,「x→0」の極限は存在しないことになりますね。

答え
極限26 問題 答え
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極限が存在する条件は「左側極限と右側極限の一致」ということをしっかり覚えておきましょう。

片側からの極限(2)
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      極限

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