三角関数の極限に関する問題です。limの横の式は，分母がx²，分子が1-cosxですね。xが0を目指すとき，分母も分子も0に向かう「0÷0」の不定形です。不定形の解消には，三角関数の極限の重要公式 xが0を目指すときのsinx/xの極限は1 が使えましたね。ただし，この式にはsinxが見当たりません。一体どうすればよいでしょうか？

カギとなる発想は，これまで解いてきた問題と同じ強引にsinx/xの形をつくることです。

cosからsinの関係は，数学Ⅰで学習した三角比の公式sin²x+cos²x=1で表せます。ということは，cos²xをつくれば，sin²xの式に変換できるのです。そこで，分子の(1-cosx)に注目し，分母・分子に(1+cosx)をかけ算しましょう。

分子の式は，
(1-cosx)(1+cosx)=1-cos²x=sin²x
と計算できますね。

limの右側にsinxの式をつくることができました。次に，sinx/xを見つけ出しましょう。

xが0を目指すときのsinx/xの極限は1 ですね。残った1/(1+cosx)について，cosxは1を目指して進むので，次のように答えが求められます。

三角関数の極限の計算を計4回にわたって解説してきました。最重要な公式はsinx/xの極限でしたね。パッと見てsinx/xが見当たらなくても，式変形して自分で作り出せるようにしておきましょう。