高校数学Ⅲ

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5分で解ける!三角関数の極限(4)に関する問題

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5分で解ける!三角関数の極限(4)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

極限32 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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三角関数の極限に関する問題です。limの横の式は,分母がx2,分子が1-cosxですね。xが0を目指すとき,分母も分子も0に向かう「0÷0」の不定形です。不定形の解消には,三角関数の極限の重要公式 xが0を目指すときのsinx/xの極限は1 が使えましたね。ただし,この式にはsinxが見当たりません。一体どうすればよいでしょうか?

強引にsinxを作るには?

極限32 問題2

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カギとなる発想は,これまで解いてきた問題と同じ強引にsinx/xの形をつくることです。

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cosからsinの関係は,数学Ⅰで学習した三角比の公式sin2x+cos2x=1で表せます。ということは,cos2xをつくれば,sin2xの式に変換できるのです。そこで,分子の(1-cosx)に注目し,分母・分子に(1+cosx)をかけ算しましょう。

極限32 問題2 解答1行目

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分子の式は,
(1-cosx)(1+cosx)=1-cos2x=sin2x
と計算できますね。

極限32 問題2 解答1~2行目

sinx/xを見つけ出す!

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limの右側にsinxの式をつくることができました。次に,sinx/xを見つけ出しましょう。

極限32 問題2 解答1~3行目

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xが0を目指すときのsinx/xの極限は1 ですね。残った1/(1+cosx)について,cosxは1を目指して進むので,次のように答えが求められます。

答え
極限32 問題2 答え
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三角関数の極限の計算を計4回にわたって解説してきました。最重要な公式はsinx/xの極限でしたね。パッと見てsinx/xが見当たらなくても,式変形して自分で作り出せるようにしておきましょう。

POINT
極限32 ポイント
三角関数の極限(4)
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