高校数学Ⅲ

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5分で解ける!関数の極限の計算(2)に関する問題

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5分で解ける!関数の極限の計算(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
関数の極限の計算(2)

極限23 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業

「0÷0」の不定形になる!?

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xが1を目指して進むときの極限を求めます。limの右側の式に注目すると,x=1を単純代入したとき,分母の(x-1)は0を目指して進み,分子の(√(x+3)-2)も0を目指して進みます。 「0÷0」の不定形 となり,この式からは極限がわからなくなってしまいますね。

計算のコツは「有理化&因数分解して約分!」

極限23 問題

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では,不定形を解消するために,どのような計算が必要になるでしょうか? 「0÷0」の不定形 では,因数分解して約分するのがコツでしたね。ただし,今回のように無理式になっていると,因数分解が上手くいかないことが多いです。したがって,因数分解の前に,有理化などの計算を加えます。

POINT
極限23 ポイント
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実際に問題で確認していきましょう。

分母・分子に√(x+3)+2をかけ算

極限23 問題

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ルートを外すときには,有理化の計算を活用します。分母に√a+√bの式があったとき,分母・分子に√a-√bをかけ算し, (2乗)ー(2乗) をつくってルートを外してきましたね。これを有理化と言いました。今回は,分子の√(x+3)-2のルートを外すために,分母・分子に√(x+3)+2をかけ算します。

極限23 問題 解答1~3行目

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分子はカッコ×カッコの展開計算より, (x+3)-22=x-1 となって上手くルートが外れました。分母は,(x-1){√(x+3)+2}となります。

約分してx=1を単純代入

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有理化したあとの分母・分子に注目しましょう。 共通因数の(x-1) があらわれました。

極限23 問題 解答1~3行目

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この(x-1)こそが,分母・分子を0にする因数だったわけです。分母・分子を(x-1)で約分すると,x=1を代入しても0とならず,計算を進めることができるようになります。

答え
極限23 問題 解答
関数の極限の計算(2)
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