高校数学Ⅲ
5分で解ける!関数の極限の基本(3)に関する問題
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- 問題
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この動画の問題と解説
問題
一緒に解いてみよう
関数の極限の基本(3)
解説
これでわかる!
問題の解説授業
「∞-∞」の不定形になる!?
計算のコツは(1/x)や(1/x2)をつくる
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関数の極限の計算は, (1/x)や(1/x2)をつくる のが基本です。前回は分母・分子を割り算しましたが,今回のようにルートを含む式では,有理化の逆演算を考えましょう。
POINT
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……といっても,「なるほど,よくわかった」とすぐに理解できる人は少ないですよね。実際に問題を解きながら,このポイントを確認しましょう。
分母・分子に√(4x2+x)+2xをかけ算
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xが∞を目指して進むとき,√(4x2+x)-2xの極限は「∞-∞」の不定形となってしまいます。不定形を解消するために,ルートを外すことを考えましょう。
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ルートを外すときには,有理化の計算を活用します。ルートの計算では,分母に√a+√bの式があったとき,分母・分子に√a-√bをかけ算し, (2乗)ー(2乗) をつくってルートを外してきましたね。これを有理化と言いました。今回は,√(4x2+x)-2xの式を分子と見立て,分子のルートを外すために,分母・分子に√(4x2+x)+2xをかけ算します。
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分子はカッコ×カッコの展開計算より, (4x2+x)-(2x)2=x となって上手くルートが外れました。ただし,分母には√(4x2+x)+2xが残ってしまいましたね。
分母・分子をxで割り算!
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xが∞を目指して進むとき,分子も分母も∞を目指す極限の式になっています。これは 「∞÷∞」の不定形 のパターンですね!分母・分子をxで割ることで,(1/x)を作りにいきましょう。
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(1/x)をルートの中に入れるとき(1/x2)になることに注意してください。(1/x)の極限は0を目指すので,次のように答えを出すことができます。
答え
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有理化は本来,分母のルートを消すための計算ですが,ここでは逆に分子のルートを消すことをしています。根号(ルート)を含む「∞-∞」のパターンの不定形は,有理化の逆演算をするのがコツと覚えておきましょう。
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limの右側の式に注目します。xが∞を目指して進むとき,前の項の√(4x2+x)は∞を目指して進み,後ろの項の-2xは-∞を目指して進みます。 「∞-∞」の不定形 となり,この式からは極限がわからなくなってしまいますね。