limの右側の式に注目します。xが∞を目指して進むとき，前の項の√(4x²+x)は∞を目指して進み，後ろの項の-2xは-∞を目指して進みます。 「∞-∞」の不定形 となり，この式からは極限がわからなくなってしまいますね。

関数の極限の計算は， (1/x)や(1/x²)をつくる のが基本です。前回は分母・分子を割り算しましたが，今回のようにルートを含む式では，有理化の逆演算を考えましょう。

……といっても，「なるほど，よくわかった」とすぐに理解できる人は少ないですよね。実際に問題を解きながら，このポイントを確認しましょう。

xが∞を目指して進むとき，√(4x²+x)-2xの極限は「∞-∞」の不定形となってしまいます。不定形を解消するために，ルートを外すことを考えましょう。

ルートを外すときには，有理化の計算を活用します。ルートの計算では，分母に√a+√bの式があったとき，分母・分子に√a-√bをかけ算し， (2乗)ー(2乗) をつくってルートを外してきましたね。これを有理化と言いました。今回は，√(4x²+x)-2xの式を分子と見立て，分子のルートを外すために，分母・分子に√(4x²+x)+2xをかけ算します。

分子はカッコ×カッコの展開計算より， (4x²+x)-(2x)²=x となって上手くルートが外れました。ただし，分母には√(4x²+x)+2xが残ってしまいましたね。

xが∞を目指して進むとき，分子も分母も∞を目指す極限の式になっています。これは 「∞÷∞」の不定形 のパターンですね！分母・分子をxで割ることで，(1/x)を作りにいきましょう。

(1/x)をルートの中に入れるとき(1/x²)になることに注意してください。(1/x)の極限は0を目指すので，次のように答えを出すことができます。

有理化は本来，分母のルートを消すための計算ですが，ここでは逆に分子のルートを消すことをしています。根号(ルート)を含む「∞-∞」のパターンの不定形は，有理化の逆演算をするのがコツと覚えておきましょう。