高校数学Ⅲ

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5分でわかる!片側からの極限(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

片側からの極限(1)

極限25 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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極限とは,限りなく〇〇に近づくという意味でしたね。関数の極限では, lim(リミット) という記号の下にxが限りなく近づいていく値を置いて表しました。limの下に「x→a」とあれば,「xはaに限りなく近づく」という意味になります。これを踏まえて片側からの極限について考えていきましょう。

片側からの極限とは?

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xy平面で,xがある値aに近づくときをイメージしてください。xがaよりも小さい値からaに近づくときと,aよりも大きい値からaに近づくときの2パターンがイメージできるでしょうか?

極限25 ポイント 下のイメージ図

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xがある値aに近づくとき,aより小さい方,つまり左側から近づく場合と,aより大きい方,つまり右側から近づく場合の2通りがありますね。このように,左右どちらか一方の側から近づいていくときの極限を片側からの極限と言います。 aより左側から近づく場合を「x→a-0」aより右側から近づく場合を「x→a+0」 で表し,それぞれの極限値を左側極限・右側極限と言います。

POINT
極限25 ポイント

左側極限と右側極限は値が異なることも!?

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極限を右側と左側で区別しなければならない理由はわかりますか。

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xy平面でグラフが途切れていない関数f(x),つまり連続している関数f(x)では「x→a」の値は左側から近づこうが,右側から近づこうが同じ値になります。しかし,例えば,y=1/xのように連続していない関数ではどうでしょうか? y=1/xの双曲線のグラフは,x=0の値がなく,ちょうどy軸を境にしてグラフが途切れますよね。x=0に右側から近づくときは,双曲線のグラフがググっと上がっていき∞を目指しますが,x=0に左側から近づくときは,双曲線のグラフがググっと下がっていき-∞を目指します。

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ようするに,関数y=f(x)は,xがaよりも小さい値からaに近づくときと,aよりも大きい値からaに近づくときで異なる極限値をとるケースがあるのです。それらの値を区別するのが左側極限・右側極限です。

POINT
極限25 ポイント
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実際に左側極限・右側極限が異なる値になる例を,このあとの問題1と2で確認していきましょう。

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

片側からの極限(1)
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      極限

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          関数の極限

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