高校数学Ⅲ

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5分で解ける!三角関数の極限(2)に関する問題

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5分で解ける!三角関数の極限(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
三角関数の極限(2)

極限30 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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xが∞を目指すときの (sinx/x)の極限 を求める問題ですね。分母のxは∞を目指すのに対し,sinxは極限がなく,(sinx/x)はいったいどんな値を目指すのかわかりません。

「(1/x)の極限は0」を活用

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いったい何を手掛かりに解いていけばよいかわかりますか?ポイントは2つあります。

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1つ目のポイントは, (1/x)の極限 です。たしかに(sinx/x)の極限はわかりませんが,(1/x)の極限ならわかりますよね。xが∞を目指すとき,
(1/x)の極限は0 ……①
となります。

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2つ目のポイントは,sinの不等式です。三角関数sinxはどんな値でもとれるわけでなく,
-1≦sinx≦1 ……②
と範囲が限定されましたね。

不等式の両辺をxで割る

極限30 問題

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(1/x)の極限は0 ……①
-1≦sinx≦1 ……②
①②を上手く組み合わせて,(sinx/x)の極限を考えていきます。

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②の式の両辺をxで割ると,
-(1/x)≦(1/x)sinx≦(1/x)
という式ができます。xは∞を目指すので,x>0であり,この不等式は成り立ちますね。 最小値の-(1/x),最大値の(1/x)がともに0を目指すことがわかります。これら極限値0にはさまれた(sinx/x)の極限について考えてみると,(sinx/x)の極限も0になる といえますね。解答にまとめると次のようになります。

答え
極限30 問題 答え

「はさみうちの原理」とは?

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この問題の解法のように,最大値の極限と最小値の極限が一致することから,不等式で最大と最小にはさまれた式の極限を求める方法をはさみうちの原理といいます。

POINT
極限7 ポイント
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はさみうちの原理は,数列の極限でも登場しましたね。三角関数sin,cosのように最大値,最小値があらかじめ決まっている式でよく活用するので,覚えておきましょう。

三角関数の極限(2)
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      極限

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