高校数学Ⅲ

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5分で解ける!三角関数の極限(3)に関する問題

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5分で解ける!三角関数の極限(3)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

極限31 問題1

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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三角関数の極限に関する問題です。 xが0を目指すときのsinx/xの極限は1 という公式を活用して解きましょう。公式はsinx/xですが,分子のsin□,分母の□は同じものであればよかったですね。limの下に,分母が0を目指す条件が入っていることも確認しましょう。

POINT
極限31 ポイント

sin2x/2xを強引につくる!

極限31 問題1(1)

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limの横にsin2x/xという式がきています。分子はsin2xで,分母のxと揃っていません。こんなときはどうすればよいでしょうか?

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ポイントになるのは,分子のsin□,分母の□は同じものを揃えるです。sin2xにそろえるために,次のように変形しましょう。

極限31 問題1(1) 解答1行目のみ 左側の「(1)」という部分は消してください

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分母のxを2xに変形していますね。ただし,このままではもとの式と意味が変わってしまうので, (1/2x)×2 として補正するのです。xが0を目指すとき,sin2x/2xの極限は1となるので答えが求められますね。

(1)の答え
極限31 問題1(1) 答え
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分子のsin□,分母の□を強引に揃え,後から補正計算するのがコツです。

tanx=sinx/cosxに変形

極限31 問題1(2)

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limの横にtanx/xという式がきています。xが0に向かうとき,分母も分子も0を目指して進む不定形ですね。不定形を解消するためにsinx/xの極限は1という公式を活用したいのですが,今回の分子はtanxです。

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そこで,三角比の公式 tanx=sinx/cosxの活用を考えましょう。与式に代入すると,次のように変形できます。

極限31 問題1(2) 解答1行目のみ 左側の「(2)」という部分は消してください

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sinx/xの極限が上手く作れましたね。残った(1/cosx)は,xが0を目指して進むとき,cosxは1を目指して進むので,(1/cosx)=1。答えが求められますね。

(2)の答え
極限31 問題1(2) 答え
三角関数の極限(3)
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