高校数学Ⅲ
5分で解ける!曲線外の点から引いた接線の求め方に関する問題
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- 問題
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この動画の問題と解説
問題
一緒に解いてみよう
曲線外の点から引いた接線の求め方
解説
これでわかる!
問題の解説授業
点(3,1)は楕円の外部の点
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接線公式が使えるのは,あくまで曲線上の接点の座標がわかっているときです。点(3,1)は楕円の接点ではありませんよね。接点の座標を(x0,y0)として,イメージ図を描くと次のようになります。
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楕円の外部に点(3,1)をとり,接線を引くと2本あらわれますね。この2本の接線の方程式を求める問題なのです。
接点を(x0,y0)とおいて立式する
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曲線外の点の座標がわかっているとき,接線の方程式を求めるには,自分で接点を(x0,y0)とおくのがポイントになります。
POINT
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接点の座標を(x0,y0)とおけば,(ア)のように接線公式を使い,曲線外の点の座標を代入してx0,y0の方程式をつくることができます。さらに,(イ)のように点(x0,y0)が曲線上にあることを考えると,(x0,y0)の値を具体的に求めることができます。
接点(x0,y0)とおき,接線の方程式をつくる
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実際の問題で計算をしていきましょう。 接点の座標を(x0,y0) とします。接線公式を利用すると,
接線:(x0×x/4)+y0×y=1
とおけますね。
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接線は点(3,1)を通るので,
(x0×3/4)+1×y0=1
y0=1-(3/4)x0……①
となります。
「曲線の式」と連立して解く
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また,接点(x0,y0)は楕円C上にもあるので
(x02/4)+y02=1……②
となります。①を②に代入して連立すると,2次方程式ができますね。
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この2次方程式を解くと,次のように2つのx0の値が求まります。
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点(3,1)から楕円Cに引いた2本の接線のうち,2つの接点のx座標がわかりましたね。あとは,x0を①の式に代入してy0をも求めましょう。接点の座標(x0,y0)が具体的にわかれば,接線公式から答えが出せますね。
答え
![式と曲線20 問題 解答すべて](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/2_1_20_1/k_mat_3_2_1_20_1_image06.png)
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楕円Cに点(3,1)から引いた接線の方程式を求める問題です。「楕円の接線公式が使えるパターンだ!」と思い,
(x×x/4)+y×y=1
のx,yの1つずつをそれぞれ3,1に置き換えると早とちりしていませんか?