高校数学Ⅲ

高校数学Ⅲ
5分で解ける!曲線外の点から引いた接線の求め方に関する問題

5
Movie size

5分で解ける!曲線外の点から引いた接線の求め方に関する問題

5

子どもの勉強から大人の学び直しまで
ハイクオリティーな授業が見放題

カンタン登録1分

この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
曲線外の点から引いた接線の求め方

式と曲線20 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業

点(3,1)は楕円の外部の点

lecturer_avatar

楕円Cに点(3,1)から引いた接線の方程式を求める問題です。「楕円の接線公式が使えるパターンだ!」と思い,
(x×x/4)+y×y=1
x,yの1つずつをそれぞれ3,1に置き換える
と早とちりしていませんか?

lecturer_avatar

接線公式が使えるのは,あくまで曲線上の接点の座標がわかっているときです。点(3,1)は楕円の接点ではありませんよね。接点の座標を(x0,y0)として,イメージ図を描くと次のようになります。

式と曲線20 問題 手書き図

lecturer_avatar

楕円の外部に点(3,1)をとり,接線を引くと2本あらわれますね。この2本の接線の方程式を求める問題なのです。

接点を(x0,y0)とおいて立式する

lecturer_avatar

曲線外の点の座標がわかっているとき,接線の方程式を求めるには,自分で接点を(x0,y0)とおくのがポイントになります。

POINT
式と曲線20 ポイント
lecturer_avatar

接点の座標を(x0,y0)とおけば,(ア)のように接線公式を使い,曲線外の点の座標を代入してx0,y0の方程式をつくることができます。さらに,(イ)のように点(x0,y0)が曲線上にあることを考えると,(x0,y0)の値を具体的に求めることができます。

接点(x0,y0)とおき,接線の方程式をつくる

式と曲線20 問題

lecturer_avatar

実際の問題で計算をしていきましょう。 接点の座標を(x0,y0) とします。接線公式を利用すると,
接線:(x0×x/4)+y0×y=1
とおけますね。

lecturer_avatar

接線は点(3,1)を通るので,
(x0×3/4)+1×y0=1
y0=1-(3/4)x0……①
となります。

「曲線の式」と連立して解く

lecturer_avatar

また,接点(x0,y0)は楕円C上にもあるので
(x02/4)+y02=1……②
となります。①を②に代入して連立すると,2次方程式ができますね。

式と曲線20 問題 解答1~8行目と手書き図

lecturer_avatar

この2次方程式を解くと,次のように2つのx0の値が求まります。

式と曲線20 問題 解答7~12行目

lecturer_avatar

点(3,1)から楕円Cに引いた2本の接線のうち,2つの接点のx座標がわかりましたね。あとは,x0を①の式に代入してy0をも求めましょう。接点の座標(x0,y0)が具体的にわかれば,接線公式から答えが出せますね。

答え
式と曲線20 問題 解答すべて
曲線外の点から引いた接線の求め方
5
友達にシェアしよう!
Logo black
Register description
  • すべての授業の「要点まとめノート」「問題・解答」をPDF無料ダウンロードできる
  • 学校で使っている教科書にあわせて勉強できる
  • わからないところを質問できる

      会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
      メール受信に関するお問い合わせが増えております。メールが届かない場合は
      こちらをご覧ください。

      この授業のポイント・問題を確認しよう

      式と曲線

      Logo black
      Register description

          会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
          メール受信に関するお問い合わせが増えております。メールが届かない場合は
          こちらをご覧ください。

          2次曲線

          Logo black
          Register description

              会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
              メール受信に関するお問い合わせが増えております。メールが届かない場合は
              こちらをご覧ください。

              高校数学Ⅲ