高校数学Ⅲ

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5分でわかる!楕円の方程式(1)

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5分でわかる!楕円の方程式(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

楕円の方程式(1)

式と曲線4 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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xとyの2次式で表された曲線である2次曲線のうち,楕円の方程式について解説していきましょう。

楕円の定義と方程式

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楕円とは,円を縦横に拡大・縮小した図形のことをいいます。例えば,次のようなラグビーボール型の図形が楕円となりますね。

式と曲線4 ポイント 図のうちx軸,y軸,原点O,楕円のみ

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楕円の数学的な定義は,2つの定点F,F'からの距離の和が一定であるような点P(x,y)の軌跡です。a>c>0として,2つの 定点F(c,0),F'(-c,0) から点P(x,y)までの距離の和を2aとするとき,楕円の方程式は次のように表すことができます。

POINT
式と曲線4 ポイント
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楕円の定義からPF+PF'=2aとなりますね。PF+PF'=2aにx,yを代入して計算すると,最終的に (x2/a2)+(y2/a2-c2)=1 が導けます。これが楕円の方程式となるのですね。2定点F(c,0),F'(-c,0)を楕円の焦点といいます。また,上の図では,原点(0,0)が楕円の中心となっていますね。

焦点がx軸上にある楕円は横長になる

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今回は2つの焦点がx軸上にある楕円を紹介しましたが,後に2つの焦点がy軸上にある楕円も登場します。まずは2つの焦点がx軸上にある楕円横長となり, x2の分母がa2y2の分母がa2-c2 となることをおさえておきましょう。

POINT
式と曲線4 ポイント

「2定点からの距離の和が2a」を式で表すと……

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ちなみに,PF+PF'=2aから楕円の方程式を導くまでの計算式は次のようになります。計算過程についても確認しておきましょう。

楕円の方程式の導出

PF+PF'=2aより,

√{(x-c)2+y2}+√{(x+c)2+y2}=2a

⇔√{(x-c)2+y2}=2a-√{(x+c)2+y2}

両辺を2乗して,整理すると,

a√{(x+c)2+y2}=a2+cx

さらに両辺を2乗して,整理すると,

(a-c)2x2+a2y2=a2(a2-c2)

両辺をa2(a2-c2)で割って,

(x2/a2)+(y2/a2-c2)=1

となる。

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

楕円の方程式(1)
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          2次曲線

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