高校数学Ⅲ

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5分で解ける!放物線の方程式(3)に関する問題

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5分で解ける!放物線の方程式(3)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
放物線の方程式(3)

式と曲線3 問題 すべて

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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放物線の方程式をもとに,焦点,準線,頂点などを求める問題です。みなさんはこれまでに,2パターンの放物線の方程式を学習してきましたね。①焦点がx軸上にある放物線②焦点がy軸上にある放物線です。それぞれの方程式は次のように表されました。
①焦点F(p,0),準線ℓ:x=-pとする(p≠0)とき,
放物線の方程式:y2=4px
②焦点F(0,p),準線ℓ:y=-pとする(p≠0)とき,
放物線の方程式:x2=4py
これらの知識をもとに問題を解いていきましょう。

「y2=~」の形に変形しよう

式と曲線3 問題(1)

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放物線C:x=2y2 の式における y2 に注目しましょう。「y2=~」の形に変形すると,
y2=(1/2)x
となります。「y2=~」で始まる放物線の方程式は y2=4px と表され,pを用いて焦点F(p,0),準線ℓ:x=-pと表すことができます。

POINT①
式と曲線3のポイントの①の2行分
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y2=(1/2)xy2=4px を比較して,
(1/2)=4p
つまりp=1/8となり,焦点F(1/8,0),準線ℓ:x=-1/8とわかります。

(1)の答え
式と曲線3 問題(1)

xはyの2次関数と見て,平方完成

式と曲線3 問題(2)

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放物線の方程式D:x=2y2-4y+3の式から頂点を求め,グラフを描きます。「x=2y2」のあとに式が続くパターンは,この授業では初めて登場しますね。しかし,慌てることはありません。

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数学Ⅰで学習した2次関数を思い出してください。x=2y2-4y+3は, 「xはyの2次関数」 と見ることができますね。2次関数の頂点を求めるときは,平方完成するのがポイントでした。

POINT②
式と曲線3のポイントの②の2行分
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x=2y2-4y+3を平方完成すると,
x=2(y2-2y)+3
x=2(y-1)2+1
頂点がy=1のときx=1とわかりますね。さらに,y=0のときx=3y=2のときx=3であることから,次のような放物線のグラフが描けます。

(2)の答え
式と曲線3 問題(2)
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放物線の方程式(3)
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