高校数学Ⅲ

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5分で解ける!双曲線の一般形に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
双曲線の一般形

式と曲線15 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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双曲線C:x2-4y2+2x+16y-19=0の式から,中心・頂点・焦点を求めます。(x2/a2)-(y2/b2)=±1の形ではない双曲線の式は,この授業では初めて登場しますね。しかし,慌てることはありません。楕円の一般形を求めるときと同じ手順を踏めば,この式が表す双曲線が見えてきます。

x,yをそれぞれ平方完成する

式と曲線15 問題

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2次曲線の式で,いちばんはじめに行うのは平方完成です。
x2-4y2+2x+16y-19=0をx,yについて整理すると,
x2+2x-4(y2-4y) -19=0
(x+1)2-1 - 4{(y-2)2-4} -19=0
(x+1)2-4(y-2)2=4

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ここでポイントになるのは,右辺を「=1」の形にすることです。両辺を4で割って,
{(x+1)2/4}-(y-2)2=1
この双曲線の式は,原点(0,0)を中心とする双曲線:(x2/4)-(y2/1)=1x方向に-1,y方向に+2平行移動した双曲線を表しますよね。したがって,中心の座標は (-1,2) とわかります。

答え①
式と曲線15 問題 左ページの解答

x方向に-1,y方向に+2平行移動

式と曲線15 問題

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続いて,頂点・焦点を求めましょう。原点(0,0)を中心とする双曲線:(x2/4)-(y2/1)=1標準形C0とします。C0の頂点・焦点x方向に-1,y方向に+2平行移動すれば,答えとなりますよね。

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双曲線(x2/a2)-(y2/b2)=1の頂点は(±a,0),焦点は(±√(a2+b2),0)となるので,標準形C0では, 頂点(±2,0)焦点(±√(22+12),0) となります。

lecturer_avatar

したがって,双曲線Cにおいては,
頂点(±2-1,2)
焦点(±(√5)-1,2)
となりますね。

答え②
式と曲線15 問題 右ページの解答

双曲線の一般形のポイントは?

lecturer_avatar

双曲線の式から中心,頂点,焦点を求める手順がわかりましたか? ポイントをまとめると,次のようになります。

POINT
式と曲線15 ポイント
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複雑そうに見えますが,楕円でも双曲線でも大事な点は2つです。
手順①
平方完成して中心の座標を求める
手順②
焦点(あるいは頂点)は標準形を平行移動
これを覚えておきましょう。

双曲線の一般形
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      式と曲線

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          2次曲線

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