高校数学Ⅲ

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5分で解ける!放物線の一般形に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
放物線の一般形

式と曲線16 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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放物線C:y2+8y-16x=0の式から,頂点・焦点・準線を求めます。この問題を解くポイントは,楕円・双曲線のときと同様に平方完成です。平方完成によって, (y-b)2=4p(x-a) に変形し, 頂点(a,b)pの値を求めましょう。

POINT
式と曲線16 ポイント 小見出しと2行目まで
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(y-b)2=4p(x-a) を目指す理由はわかりますか? 以前に,放物線C0:y2=4pxについては学習しましたよね。

復習
式と曲線1 ポイント
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放物線C0:y2=4px頂点は(0,0)焦点は(p,0)準線はx=-pでした。これと, 放物線C:(y-b)2=4p(x-a) を照らし合わせて考えると,CはC0をx方向に+a,y方向に+b平行移動したグラフであることがわかりますね。ようするに, (y-b)2=4p(x-a) の式にできれば, 頂点は(a,b)焦点は(p+a,b)準線はx=-p+aだとわかるわけです。

POINT
式と曲線16 ポイント すべて
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ポイントはつかめましたか?
手順①
平方完成して頂点の座標とpの値を求める
手順②
焦点・準線は標準形を平行移動して求める
という2つの手順を意識してください。実際にこの問題を解いていきます。

x,yをそれぞれ平方完成する

式と曲線16 問題

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2次曲線の式で,いちばんはじめに行うのは平方完成です。(y-b)2=4p(x-a)を目指して式変形すると,
y2+8y-16x=0
(y+4)2-16 -16x=0
(y+4)2=4×4(x+1)
となります。 (y-b)2=4p(x-a) と照らしあわせたときに,a,b,pの値がわかるように式変形するのがコツです。特に
pの値がわかるように右辺を4でくくる
のが大事です。

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(y+4)2=4×4(x+1) より,a=-1,b=-4,p=4であり, 頂点の座標は(-1,-4) だとわかりますね。

答え①
式と曲線16 問題 解答7行目まで

x方向に-1,y方向に-4平行移動

式と曲線16 問題

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続いて,焦点・準線を求めましょう。原点(0,0)を頂点とする放物線:y2=4×4x標準形C0とします。C0の焦点・準線x方向に-1,y方向に-4平行移動すれば,答えとなりますよね。

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放物線y2=4pxの焦点は(p,0),準線はx=-pとなるので,標準形C0では, 焦点(4,0)準線x=-4となります。

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したがって,放物線Cにおいては,
頂点(4-1,-4)
準線x=-4-1
となりますね。

答え②
式と曲線16 問題 解答8行目以降
放物線の一般形
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      式と曲線

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          2次曲線

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