高校数学Ⅲ

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5分でわかる!双曲線のグラフ(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

双曲線のグラフ(1)

式と曲線10 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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これまでに,2パターンの双曲線の方程式を学習してきましたね。①2つの焦点がx軸上にある双曲線②2つの焦点がy軸上にある双曲線です。c>a>0とするとき,それぞれの方程式は次のように表されました。
①焦点F(c,0),F'(-c,0)からの距離の差が2aのとき,
双曲線:(x2/a2)-(y2/c2-a2)=1
②焦点F(0,c),F'(0,-c)からの距離の差が2aのとき,
双曲線:(x2/c2-a2)-(y2/a2)=-1
①②の方程式は,2つの定数a,bを用いて,
双曲線:(x2/a2)-(y2/b2)=±1
と,まとめて表すことができます。

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これらの双曲線の式のうち,今回は,
①2つの焦点がx軸上にある双曲線
(x2/a2)-(y2/b2)=1
のグラフの描き方を解説します。

頂点の座標は(±a,0)

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双曲線:(x2/a2)-(y2/b2)=1の式からグラフを描くとき,双曲線の2つの頂点はすぐに求めることができます。y=0のときx=±aであることから,双曲線のグラフは2つの点(±a,0)を頂点とすることがイメージできます。

式と曲線10 ポイント 図 2つの漸近線y=±(b/a)xをカット 焦点のc,-cもカット

漸近線y=±(b/a)xとは?

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ただし,2つの頂点だけをヒントにして双曲線のグラフを描いてはいけません。双曲線を描くときは, 漸近線(ぜんきんせん) を求めることが必要になるのです。

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漸近線とは,簡単にいうと曲線がどんどん近づいていく線のことです。双曲線:(x2/a2)-(y2/b2)=1の場合,漸近線y=±(b/a)xという直線になるのです

式と曲線10 ポイント 図 焦点のc,-cカット

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グラフを見て分かるとおり,xの値が大きくなればなるほど,あるいはxの値が小さくなればなるほど,曲線は漸近線に近づいていきますね。双曲線:(x2/a2)-(y2/b2)=1の場合,漸近線y=±(b/a)xという直線になるということは必ず覚えてください。

POINT
式と曲線10 ポイント 図の右側2行以外すべて

双曲線のグラフを描く手順

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実際に, (x2/a2)-(y2/b2)=1 という式から双曲線を描くときの手順について解説しましょう。

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手順1
まずは,y2の係数がマイナス方程式の右辺が「=1」 である点に注目して,左右に分かれた双曲線だと判断します。

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手順2
次に,頂点の座標を求めます。左右に分かれた双曲線の場合,2つの頂点はx軸上にきますね。(x2/a2)-(y2/b2)=1の式にy=0を代入すると,x=±aが得られます。つまり, 頂点の座標は(±a,0) です。

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手順3
あとは,漸近線を求めます。 (x2/a2)-(y2/b2)=1漸近線y=±(b/a)xという直線になるということは覚えておいてください。漸近線と2つの頂点を描くと次のようになりますね。

式と曲線10 ポイント 図 双曲線と,焦点のc,-cをカット

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手順4
最後に,左右に分かれた双曲線を描きます。 頂点(±a,0) を通り,漸近線:y=±(b/a)xに近づくようにしましょう。

式と曲線10 ポイント 図 焦点のc,-cカット

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これで完成です。

焦点の座標の求め方は?

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①2つの焦点がx軸上にある双曲線
(x2/a2)-(y2/b2)=1
のグラフの描き方はわかりましたね。仕上げに,焦点の座標の求め方を確認しておきましょう。

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①の方程式は,もともと (x2/a2)-(y2/c2-a2)=1 であったことから, x2とy2の分母の和がc2 になります。つまり, c2=a2+b2 となります。

POINT
式と曲線10 ポイント
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c>a>0より,焦点(±c,0)の位置は,頂点(±a,0)の左右になります。

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

双曲線のグラフ(1)
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      式と曲線

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          2次曲線

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