5分で解ける!2次曲線の決定(1)に関する問題
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- 問題
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この動画の問題と解説
問題
解説
楕円の方程式は2パターン
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長軸の長さと通る1点の座標をもとに,楕円の方程式を求める問題ですね。
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まずは,楕円の方程式が2パターンで表されることを思い出しましょう。
(x2/a2)+(y2/b2)=1
であり,①焦点がx軸上にあるときはa>b>0,②焦点がy軸上にあるときはb>a>0でした。今回の問題で求める楕円が①②のどちらのパターンになるかわかりますか?
長軸と短軸に注目!
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重要になるのは,問題文の 「長軸がx軸上,短軸がy軸上」 という部分です。楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1を,長軸がx軸上,短軸がy軸上にあるように図示すると,次のようになりますね。
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長軸がx軸上,短軸がy軸上というヒントから,図のように①焦点がx軸上にある横長の楕円のパターンであることがわかりました。つまり,求める式はa>b>0の楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1とおけるのです。
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さらに,もう1度,図をよく見てみましょう。長軸の長さがわかっているとき,aの値が求められることに気がつきませんか?
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図より,長軸の長さは2a,短軸の長さは2bです。長軸の長さが与えられていれば,aの値がわかりますね。
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aの値を求めた後,通る1点の座標を代入
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では,a>b>0の楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1の式を決定していきます。
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長軸の長さが4より,
2a=4
つまりa=2とわかりますね。
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(x2/22)+(y2/b2)=1の式に,今度は通る1点の座標(√2,1)を代入しましょう。すると,
{(√2)2/22}+(12/b2)=1
⇔(1/2)+(1/b2)=1
⇔b2=2
よって,求める楕円の方程式は,
(x2/4)+(y2/2)=1
となります。
「c2=a2-b2」から焦点を求める
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最後に焦点の座標を求めましょう。a>b>0の楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1において,焦点F(c,0),F'(-c,0)とすると, c2=a2-b2 が成り立ちました。
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a2=4,b2=2なので,
c2=4-2=2
となり,c=√2です。 焦点F(√2,0),F'(-√2,0) と求められますね。
![式と曲線12 問題 解答 図も含むすべて](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/2_1_12_1/k_mat_3_2_1_12_1_image04.png)
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放物線・楕円・双曲線という3種類の2次曲線の式とグラフを学習してきましたね。今回からは,与えられた情報をもとに,2次曲線の式を決定する問題に取り組んでいきます。