高校数学Ⅲ

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5分で解ける!2次曲線の決定(1)に関する問題

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5分で解ける!2次曲線の決定(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
2次曲線の決定(1)

式と曲線12 問題 すべて

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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放物線・楕円・双曲線という3種類の2次曲線の式とグラフを学習してきましたね。今回からは,与えられた情報をもとに,2次曲線の式を決定する問題に取り組んでいきます。

楕円の方程式は2パターン

式と曲線12 問題 すべて

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長軸の長さ通る1点の座標をもとに,楕円の方程式を求める問題ですね。

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まずは,楕円の方程式が2パターンで表されることを思い出しましょう。
(x2/a2)+(y2/b2)=1
であり,①焦点がx軸上にあるときはa>b>0②焦点がy軸上にあるときはb>a>0でした。今回の問題で求める楕円が①②のどちらのパターンになるかわかりますか?

長軸と短軸に注目!

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重要になるのは,問題文の 「長軸がx軸上,短軸がy軸上」 という部分です。楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1を,長軸がx軸上,短軸がy軸上にあるように図示すると,次のようになりますね。

式と曲線12 ポイントの図のみ

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長軸がx軸上,短軸がy軸上というヒントから,図のように①焦点がx軸上にある横長の楕円のパターンであることがわかりました。つまり,求める式はa>b>0楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1とおけるのです。

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さらに,もう1度,図をよく見てみましょう。長軸の長さがわかっているとき,aの値が求められることに気がつきませんか?

式と曲線12 ポイントの図のみ

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図より,長軸の長さは2a,短軸の長さは2bです。長軸の長さが与えられていれば,aの値がわかりますね。

POINT
式と曲線12 ポイント すべて

aの値を求めた後,通る1点の座標を代入

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では,a>b>0楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1の式を決定していきます。

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長軸の長さが4より,
2a=4
つまりa=2とわかりますね。

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(x2/22)+(y2/b2)=1の式に,今度は通る1点の座標(√2,1)を代入しましょう。すると,
{(√2)2/22}+(12/b2)=1
⇔(1/2)+(1/b2)=1
b2=2
よって,求める楕円の方程式は,
(x2/4)+(y2/2)=1
となります。

「c2=a2-b2」から焦点を求める

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最後に焦点の座標を求めましょう。a>b>0楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1において,焦点F(c,0),F'(-c,0)とすると, c2=a2-b2 が成り立ちました。

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a2=4,b2=2なので,
c2=4-2=2
となり,c=√2です。 焦点F(√2,0),F'(-√2,0) と求められますね。

答え
式と曲線12 問題 解答 図も含むすべて
2次曲線の決定(1)
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