高校数学Ⅲ

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5分でわかる!双曲線のグラフ(2)

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この動画の要点まとめ

ポイント

双曲線のグラフ(2)

式と曲線11 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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これまでに,2パターンの双曲線の方程式を学習してきましたね。①2つの焦点がx軸上にある双曲線②2つの焦点がy軸上にある双曲線です。①②の方程式は,2つの定数a,bを用いて,
双曲線:(x2/a2)-(y2/b2)=±1
と,まとめて表すことができます。

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これらの双曲線の式のうち,今回は,
②2つの焦点がy軸上にある双曲線
(x2/a2)-(y2/b2)=-1
のグラフの描き方を解説します。……といっても,新しく覚えることはほとんどありません。前回学習した①の双曲線のグラフを描く手順がそのまま使えます。

双曲線のグラフを描く手順

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実際に, (x2/a2)-(y2/b2)=-1 という式から双曲線を描くときの手順について解説しましょう。

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手順1
まずは,y2の係数がマイナス方程式の右辺が「=-1」 である点に注目して,上下に分かれた双曲線だと判断します。

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手順2
次に,頂点の座標を求めます。上下に分かれた双曲線の場合,2つの頂点はy軸上にきますね。 (x2/a2)-(y2/b2)=-1 の式にx=0を代入すると,y=±bが得られます。つまり, 頂点の座標は(0,±b) です。

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手順3
あとは,漸近線を求めます。 (x2/a2)-(y2/b2)=-1 の場合も,漸近線y=±(b/a)xという直線になります。漸近線と2つの頂点を描くと次のようになりますね。

式と曲線11 ポイント 図 双曲線と,焦点のc,-cをカット

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手順4
最後に,上下に分かれた双曲線を描きます。 頂点(0,±b) を通り,漸近線:y=±(b/a)xに近づくようにしましょう。

式と曲線11 ポイント 図 焦点のc,-cカット

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これで完成です。

焦点の座標の求め方は?

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②2つの焦点がy軸上にある双曲線
(x2/a2)-(y2/b2)=-1
のグラフの描き方はわかりましたね。a,bの値を求め,頂点の座標漸近線から双曲線を描けばよいのです。仕上げに,焦点の座標の求め方を確認しておきましょう。

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②の方程式は,もともと (x2/c2-a2)-(y2/a2)=1 であったことから, x2とy2の分母の和がc2 になります。つまり, c2=a2+b2 となります。

POINT
式と曲線11 ポイント
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c>b>0より,焦点(0,±c)の位置は,頂点(0,±b)の上下になります。

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

双曲線のグラフ(2)
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